第十八章 极值与条件极值
§1 极值与最小二乘法
1．求下列函数的极大值点和极小值点： （1）f(x,y)?(x?y?1)；
（2）f(x,y)?3axy?x?y(a?0)；
332x2y2（3）f(x,y)?xy1?2?2；
ab（4）f(x,y)?e(x?y?2y)；
（5）f(x,y)?sinx?cosy?cos(x?y) （0?x,y?（6）f(x,y)?(x2?y2?1)2．
2x2?2）；
?fx(x,y)?2(x?y?1)?0,解（1）由? 解得稳定点为 y?x?1．
f(x,y)??2(x?y?1)?0,?y而fxx?2，fxy??2，fyy?2．
由于D?0，故不能用极值的充分条件判断f是否在稳定点取极值，但由于当y?x?1时，f(x,y)?0，而y?x?1时f(x,y)?0，因而在y?x?1的点处，f(x,y)取极小值也是最小值0．
2??fx(x,y)?3ay?3x?0,（2）由? 解出稳定点为(0,0),(a,a)． 2??fy(x,y)?3ax?3y?0,在点(0,0)，a11?fxx(0,0)?0，a12?fxy(0,0)?3a，a22?fyy(0,0)?0，这时，
2D?a11a22?a12??9a2?0，
故(0,0)不是极值点．在点(a,a)，
a11?fxx(a,a)??6a，a12?fxy(a,a)?3a，a22?fyy(a,a)??6a，
2D?a11a22?a12?27a2?0，a11??6a?0，
故f(x,y)在(a,a)取极大值f(a,a)?a．
3?x2y2?fx(x,y)?x(1?2?2)ab?（3）令?x2y2??fy(x,y)?y(1?a2?b2)?P1?(0,0)，P2?(a3b3a3,b3x2y21?2?2?0,ab1?xy??0,22aba3,?b322 解得稳定点为
)，P3?()，P4?(?a3,b3)，
P5?(?,?)．
在点P1?(0,0)，fxx(0,0)?fyy(0,0)?0,fxy(0,0)?1且D?0，故f(x,y)在点
P1?(0,0)不取极值．
在点P2?(a3,b3)，有
23?4b3aa11??4a3a?0,a12??a3b3b3,a22?且D?a11a22?a12?4?0，
2故f(x,y)在点P2?(,)取极大值
3ab． 9
在点P3?(a3,?)，有
234b3aa11?4a3a?0,a12??a3b3b3,a22?且D?a11a22?a12?4?0，
2故f(x,y)在点P3?(,?)取极小值?3ab． 9在点P4?(?a3,)，有
23?4b3aa11??4a3a?0,a12?a3b3b3,a22?且D?a11a22?a12?4?0，
2故f(x,y)在点P4?(?,)取极小值?3ab． 9在点P5?(?a3,?)，有
a11??4a3a?0,a12??a3b323,a22??4b3a2?4?0， ?0且D?a11a22?a12故f(x,y)在点P5?(?,?)取极大值
3
ab． 9
2x2?1?fx(x,y)?e(1?2x?4y?2y)?0,（4）令? 解得稳定点(,?1)．而 2x2f(x,y)?2e(1?y)?0,??y111a11?fxx(,?1)?2e?0,a22?fyy(,?1)?2e?0,a12?fxy(,?1)?0，
2221122且D?a11a22?a12?4e?0，所以，f(x,y)在(,?1)取极小值为 ?e．
22（5）令??fx(x,y)?cosx?sin(x?y)?0,?? 解得稳定点为(,)．
36?fy(x,y)??siny?sin(x?y)?0,??????3a11?fxx(,)??3?0,a22?fyy(,)??3?0,a12?fxy(,)?，
3636362且D?a11a22?a12?29??3?0，故f(x,y)在(,)取极大值为3．
3642x2?y2?0,x2?y2?0, 解得稳定点为x?y?1上
22?f(x,y)?2x(x2?y2?1)?x（6）令?22f(x,y)?2y(x?y?1)?y?的所有点，而P1(0,0)是导数不存在的点．
由于f(x,y)在圆周x?y?1上的点取值0，而f(x,y)?0，故f(x,y)在圆周
22x2?y2?1上的点取极小值也是最小值0，而在P1(0,0)，
f(x,y)?(x2?y2?1)2?1?f(0,0)，?x2?y2?2，
因而P1(0,0)是极大值点，极大值为1．
2．已知y?ax?bx?c，观测得一组数据(xi,yi),i?1,2,?,n，利用最小二乘法，求系数a,b,c所满足的三元一次方程组．
2解 记f(a,b,c)?并令它们等于0，即
?(axi?1n2i?bxi?c?yi)2，为求其最小值，分别对a,b,c求偏导数，
n?f?2?(axi2?bxi?c?yi)xi2?0， ?ai?1n?f?2?(axi2?bxi?c?yi)xi?0， ?bi?1n?f?2?(axi2?bxi?c?yi)?0， ?ci?1即系数a,b,c所满足的三元一次方程组为
nnn?n4322ax?bx?cx?xyi,????iiii?i?1i?1i?1?i?1nnn?n32?a?xi?b?xi?c?xi??xiyi,
i?1i?1i?1?i?1nn?n2?a?xi?b?xi?cn??yi．i?1i?1?i?13．已知平面上n个点的坐标分别是
A1(x1,y1),A2(x2,y2),?,An(xn,yn)，
试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小．
解 设平面点为P(x,y)，则它到n个点距离的平方和为
f(x,y)??[(x?xi)2?(y?yi)2]，
i?1n由函数极值的条件得，
nn?f?f?2?(x?xi)?0，?2?(y?yi)?0， ?x?yi?1i?11n1n得稳定点(?xi,?yi)?(x,y)．由于实际问题有最小值，而稳定点又唯一，故稳定
ni?1ni?1点即为最小值点．因而点(x,y)与这n个点距离的平方和最小．
4．求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值： （1）f(x,y)?x?y,D?(x,y)x?y?4； （2）f(x,y)?x?xy?y,D?(x,y)x?y?1； （3）f(x,y,z)?(ax?by?cz)e?(x222?22?22???y2?z2)3，其中a?b?c?0，D?R．
222解（1）令??fx(x,y)?2x?0, 解得D内的唯一稳定点(0,0)．又因为，
?fy(x,y)?2y?0,a11?fxx(0,0)?2?0,a22?fyy(0,0)??2?0,a12?fxy(0,0)?0，
且D?a11a22?a12??4?0，故在(0,0)点，f(x,y)达不到极值，在边界x?y?4上，
222f(x,y)?x2?y2?x2?(4?x2)?2(x2?2)??(x),x?2，
令??(x)?4x?0，得唯一的稳定点x?0，且???(x)?4?0，故?(x)在x?0取极小值，这就是函数f(x,y)的最小值，其值为f(0,?2)??4，在边界点x??2时y?0，
f(?2,0)?4，即函数在(?2,0)取最大值4．
?fx(x,y)?2x?y?0,（2）令 ? 解得唯一的稳定点(0,0)，从而由
f(x,y)?2y?x?0,?ya11?fxx(0,0)?2?0,a22?fyy(0,0)?2?0,a12?fxy(0,0)??1，
且D?a11a22?a12?5?0故(0,0)是f(x,y)的极小值点，也是最小值点，最小值为
2f(0,0)?0．而在边界x?y?1上，在y?1?x,0?x?1，
3232x)?x， 241111在x?0或x?1取最大值f(1,0)?f(0,1)?1，在x?取最小值f(,)?．
2224f(x,y)?(1?在y?1?x,?1?x?0，
f(x,y)?x2?x?1，
在x?0或x??1取最大值f(?1,0)?f(0,1)?1，在x?在y??1?x,0?x?1，
1113取最小值f(?,)?． 2224f(x,y)?x2?x?1，
在x?0或x??1取最大值f(?1,0)?f(0,?1)?1，在x??1111取最小值f(?,?)?． 2224总之，在D上，f(x,y)取最小值f(0,0)?0，取最大值1． （3）令
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