线面、面面垂直
高中数学
（知识点归纳）
1．直线和平面垂直的定义．
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 符号语言： l??,a???l?a
?a,l?b,a?b?p?l?? ?b?a ?a??
2、一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号语言：a、b??,l3、如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 垂直这个平面 符号语言：a//b,a??4、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面 符号语言：?//?,a??5．面面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． 符号语言：a??,a??????
6．面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号语言：???,????l,a?l,a???a??
【基础自测】
1．(人教A版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )． A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内任意一条直线垂直 2．(2012·兰州模拟)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( )．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
3．(教材习题改编)给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4.（09广东）.给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是( )
1
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
考点1、线面垂直
例1.如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，证明：（1）BC⊥面PAC (2)若AH⊥PC，证AH⊥面PBC
P B
A ? C 变式1：在正方体AC1中，O为下底面的中心，B1H ⊥D1O. 求证（1）AC⊥面D1B1BD（2）B1H⊥面D1AC
练习2.（2011年高考全国新课标卷·文）如图，四棱锥P?ABCD 中，底面ABCD为平行
四边形，?DAB?60?,AB?2AD,PD?底面ABCD。 （I）证明：PA?BD ；（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．
2
考点2、面面垂直
例2、（2012湛江一模） 底面是正方形的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱AA1?底面ABCD,E是CC1的中点，O是AC、BD的交点． (1)求证：AC1//平面BDE；
(2)求证：平面BDE?平面ACC1.
变式.如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面ABC，∠ACB= 90°，求证： PB ⊥AC
P B C A
提高训练
1、空间四面体ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为AC的中点，则有（ ） (A) 平面ABD ⊥面BCD (B) 平面BCD ⊥面ABC (C) 平面ACD ⊥面ABC (D) 平面ACD ⊥面BDE 2、(2012·郑州模拟)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4
3、如图,在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.M是PC上的一点， 证明：平面MBD⊥平面PAD.
3
4、（2014年广东卷）如图2，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
（1） 证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M-CDE的体积.
5、(2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD， ∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.
6.（2010北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,?BAD?90? ， PA垂直于底面ABCD，PA=AD=AB=2BC=2，M,N分别为PC,PB的中点.(Ⅰ) 求四棱锥P-ABCD的体积；（Ⅱ）求证：PB?DM.
4
相关推荐：
loading