1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p 真 真 假 假 2.全称量词和存在量词
量词名词 全称量词 存在量词
3.全称命题和存在性命题
命题名称 全称命题 存在性命题
4.含有一个量词的命题的否定
q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 表示符号 ? ? 命题结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立 命题简记 ?x∈M，p(x) ?x∈M，p(x) 命题 ?x∈M，p(x) ?x∈M，p(x)
【知识拓展】
1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
命题的否定 ?x∈M，綈p(x) ?x∈M，綈p(x) (1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真； (2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假； (3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.
2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题.( × ) (2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.( √ ) (4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( × ) (5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( × ) (6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × )
1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“?x>－1，x＋x－2 016>0”的否定是______________. 答案 ?x>－1，x＋x－2 016≤0
解析 命题“?x>－1，x＋x－2 016>0”的否定是“?x>－1，x＋x－2 016≤0”. 2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的______________条件. 答案 充分不必要
解析 綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
3.(教材改编)若不等式x－x>x－a对?x∈R都成立，则a的取值范围是________. 答案 a>1
解析 方法一 不等式x－x>x－a对?x∈R都成立，即不等式x－2x＋a>0恒成立. 结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.
方法二 不等式x－x>x－a对?x∈R都成立，也可看作a>－x＋2x对?x∈R都成立，所以
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a>(－x＋2x)max，而二次函数f(x)＝－x＋2x的最大值为
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＝1，所以a>1.
4.已知实数a满足1 x ①p∨q为真；②p∧q为假；③(綈p)∧q为真；④(綈p)∧(綈q)为假.其中正确的命题是________. 答案 ①④ 解析 由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即1 ?π?5.(2015·山东)若“?x∈?0，?，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 4?? 答案 1 ?π?解析 ∵函数y＝tan x在?0，?上是增函数， 4?? π ∴ymax＝tan ＝1. 4依题意，m≥ymax，即m≥1. ∴m的最小值为1. 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1 (1)已知命题p：对任意x∈R，总有2>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p∧q ③(綈p)∧q ②(綈p)∧(綈q) ④p∧(綈q) x(2)(2016·盐城模拟)若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则p________， q________.(填“真”或“假”) 答案 (1)④ (2)假 真 解析 (1)∵p是真命题，q是假命题， ∴p∧(綈q)是真命题. (2)∵綈p为真命题，∴p为假命题， 又∵p∨q为真命题，∴q为真命题. 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p、q的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假. 已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x>y.在命题①p∧q；②p∨q； ③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________. 答案 ②③ 解析 当x>y时，－x<－y， 故命题p为真命题，从而綈p为假命题. 当x>y时，x>y不一定成立， 故命题q为假命题，从而綈q为真命题. 2 2 2 2 由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题. 题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例2 (1)(2016·宿迁模拟)命题p：?x∈N，x 3 2 f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)，则p______，q______.(填“真”或“假”) (2)已知命题p：?x∈R,2<3；命题q：?x0∈R，x0＝1－x0，则下列命题中为真命题的是________.(填序号) ①p∧q ③p∧(綈q) 答案 (1)假 真 (2)② 解析 (1)∵x 在这个范围内没有自然数，命题p为假命题. ∵f(x)的图象过点(2,0)，∴loga1＝0， 对?a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立.命题q为真命题. (2)容易判断当x≤0时2≥3，命题p为假命题，分别作出函数y＝x，y＝1－x的图象，易知命题q为真命题.根据真值表易判断(綈p)∧q为真命题. xx3 2 3 2 2 xx32 ②(綈p)∧q ④(綈p)∧(綈q) 命题点2 含一个量词的命题的否定 例3 (1)命题“?x∈R，使得x≥0”的否定为________________. (2)(2015·浙江改编)命题“?n∈N，f(n)∈N且f(n)≤n”的否定形式是_________________. 答案 (1)?x∈R，都有x<0 (2)?n∈N，f(n)?N或f(n)＞n 解析 (1)将“?”改为“?”，对结论中的“≥”进行否定. (2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知. 思维升华 (1)判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p(x)成立. (2)对全称、存在性命题进行否定的方法 * * 2 * * 2
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