（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC． 18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 19．（12分）
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． 2uuuruuur（2）若AP?3PB，求|AB|．
20．（12分）
已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点；
?2（2）f(x)有且仅有2个零点．
21．（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中
a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
?1?t2x?，?2?1?t（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??y?4t?1?t2?正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）
111???a2?b2?c2； abc333（2）(a?b)?(b?c)?(c?a)?24．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学?参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题
13．y=3x 14．
121 315．0.18 16．2
三、解答题
22222217．解：（1）由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC，故由正弦定理得b?c?a?bc．
b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180，所以A?60．
（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120??C?2sinC，
??????即6312?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????． 22222，故 2由于0?C?120，所以sinC?60??????sinC?sin?C?60??60??
?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60?
6?2． 4?18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME=
1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=
PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 由题设知A1B1???因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则
uuur
uuuruuuurA(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，
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