2015全国高中数学联赛模拟试题02
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.在如下图所示的正方体ABCD?ABCD中， 二面角A?BD?C等于 （用反三角函数表示）
2.如果三角形?ABC的三个内角A,B,C满足
''''''cotA,cotB,cotC依次成等差数列，则角B的最大值是
2n?1,a2?2?1,an?1?an?1??2(n?2)， 2an?an?1则通项公式an? (n?1)。
3.实数列?an?满足条件：a1?x2y24.F1,F2是椭圆2?2?(a?b?0)的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果?PF1F2的面积为1，
ab1tan?PF1F2?,tan?PF2F1??2,则a?
25.在同一直角坐标系中，函数f(x)?ax?4(a?0)与其反函数f?1(x)的图像恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是
6. 已知正实数a1,a2,?,an与非负实数b1,b2,?,bn满足(1) a1?a2???an?b1?b2???bn?n;
?b1b2b1???n(2) a1a2?an?b1b2?bn?，则 a1a2?an??an2?a1a2??的最大值为__________． ?
7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,?,2014克的物品，
砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．
8.设g(x)?二、简答题（本大题共3小题，共56分）
9.（16分）设数列?an?的前n项和Sn组成的数列满足
x(1?x)是定义在区间?0,1?上的函数，则函数y?xg(x)的图像与x轴所围成图形的面积是
Sn?Sn?1?Sn?2?6n2?9n?7(n?1)，已知a1?1,a2?5,求数列?an?的通项公式。
310.（20分）设x1,x2,x3,是多项式方程x?10x?11?0的三个根。 （1）已知x1,x2,x3,都落在区间(?5,5)之中，求这三个根的整数部分； （2）证明：arctanx1?arctanx2?arctanx3?
?4
x2?y2?1,A(?2,0),B(0,?1)是椭圆?上的两点，直线11.（20分）如下图，椭圆?:4l1:x??2,l2:y??1.P(x0,y0)(x0?0,y0?0)是?上的一个动点，l3是过点P且与?相切的直线，C,D,E分别是直线l1与l2，l2与l3，l1与l3的交点， 求证：三条直线AD,BE和CP共点。
2015全国高中数学联赛模拟试题02
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.在如下图所示的正方体ABCD?ABCD中，二面角A?BD?C等于 ''''''1 32.如果三角形?ABC的三个内角A,B,C满足cotA,cotB,cotC依次成等差数列，则角B的最大值是
解：arccos?.记x?cotA,y?cotB,z?cotC，则2y?x?z.由于x,y,z至多一个负数，故y?0， 3xy?1且??z.即xy?yz?zx?1.消去z后，得到x2?2xy?(1?2y2)?0，方程有实根， x?y解：
??3即B?且A?B?C?时等号成立
3332n3.实数列?an?满足条件：a1??1,a2?2?1,an?1?an?1??2(n?2)，则an? (n?1)
2an?an?1n?1.计算前几项可以猜出结果，再用数学归纳法可以证明. 解：2x2y24.F1,F2是椭圆2?2?(a?b?0)的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果?PF1F2的面积为1，
ab1tan?PF1F2?,tan?PF2F1??2,则a?
2115k?解：.不妨假定F设.则的斜率为，F2P的斜率为k2?2，(?c,0),F(c,0)(c?0),P(x,y)FP1120012254423因此x0?c?2y0，y0?2(x0?c)解得x0?c,y0?c,又S△PF1F2=cy0?c?1，所以c?，
3332532315点P( ,).从而2a?PF1?PF2?15，所以a?6325.设g(x)?x(1?x)是定义在区间?0,1?上的函数，则函数y?xg(x)的图像与x轴所围成图形的面积是
所以△?12y2?4?0，故cotB?y?6. 已知正实数a1,a2,?,an与非负实数b1,b2,?,bn满足(1) a1?a2???an?b1?b2???bn?n; (2) a1a2?an?b1b2?bn?
?bbb1，则 a1a2?an?1?2???nan2?a1a2??的最大值为__________． ???a1?b1???a2?b2?????an?bn??1解：.由均值不等式知: ?a1?b1??a2?b2???an?bn?????1,
2n??于是 a1a2?an?bb12?bn??b1a2a3?an?a1b2a3?an???a1a2a3?bn??1,
n?b1b2b?1????n??1??a1a2?an?b1b2?bn??.
an?2?a1a21取a1?a2???an?1,b1?b2???bn?1?0,bn?满足条件,且取到最大值.
27. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,?,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量
即a1a2?an?最小值为________________克．
解：147.设这20块砝码质量为a1?a2???a20.首先用归纳法证明: ak?2k?1(k?11).（1）当k?1时,显然, （2）设结论对k?1,2,?,n成立，若an?1?2n(n?10)，则由a1?a2???an?1?2???2n?1?2n?1知2克的物品无法称量，矛盾！于是，a1?a2???a8?1?2???27?255， 所以a9?a10???a20?2014?255?1759，所以a20?n1759?146，即a20?147，又当ak?2k?1(k?8)，12?1a9?a10???a20?147时，符合条件，故最小值为 147克．
8.在同一直角坐标系中，函数f(x)?ax?4(a?0)与其反函数fa的取值范围是
则实数(x)的图像恰有三个不同的交点，
二、简答题（本大题共3小题，共56分）
9.（16分）设数列?an?的前n项和Sn组成的数列满足
Sn?Sn?1?Sn?2?6n2?9n?7(n?1)，已知a1?1,a2?5,求数列?an?的通项公式。
10.（20分）设x1,x2,x3,是多项式方程x?10x?11?0的三个根。（1）已知x1,x2,x3,都落在区间(?5,5)之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：arctanx1?arctanx2?arctanx3?3?4
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