特殊三角形之等腰三角形
模块一 等腰三角形
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定 义 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 如图，△ABC是等腰三角形，AB?AC 则①AB、AC是该三角形的腰. ②BC是该三角形的底边. ③?B、?C是该三角形的底角， 且?B??C. ④?A是该三角形的顶角. 等腰三角形的性质： ⑴ 两腰相等． ⑵ 两底角相等（等边对等角）． ⑶ “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． ⑷ 是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． A示例剖析 ABCAB?AC，?B??C BDC△ABC是等腰三角形，AB?AC ①若AD?BC，则BD?CD， ?BAD??CAD； ②若BD?CD，则?BAD??CAD， AD?BC； ③若?BAD??CAD，则AD?BC，BD?CD. A等腰三角形的判定方法： ⑴有两条边相等的三角形是等腰三角形． ⑵有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． BC 若AB?AC或?B??C，则△ABC是等腰三角形. 易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况．
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A【例1】 ⑴ 如图，△ABC中，AC?AD?BD，?DAC?80?，
则?B的度数是（ ）
A．40? B．35? C．25? D．20? DCB
⑵ △ABC的一个内角的大小是40?，且?A??B，那么?C的外角的大小是( ) A．140? B．80?或100? C． 100?或140? D． 80?或140?
A
⑶如图，△ABC内有一点D，且DA?DB?DC，若?DAB?20?，?DAC?30?，则?BDC的大小是（ ） A.100? B.80? C.70? D.50?
D
BC
【例2】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底
边的长为（ ）
A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法
B确定
⑵如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，
C延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为D_________． E
AAnA1A2A3A4
能力提升
【例3】 如图1，AB?AC，BD、CD分别平分?ABC、?ACB．问：
⑴ 图1中有几个等腰三角形？
⑵ 过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图2，图中又增加了几个等腰三角形? ⑶ 如图3，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形? 线段EF与BE、CF有什么关系?
⑷ 如图4，BD平分?ABC，CD平分外角?ACG.DE∥BC交AB于E，交AC于F．线段EF与BE、CF有什么关系?
⑸ 如图5，BD、CD为外角?CBM、?BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于E，交AC延长
线于F，线段EF与BE、CF有什么关系?
AAADB图1CBEDFCEBDFC图2图3
AEFD
ABECFD图5N
BC图4GM
【例4】 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且
CE＝CA． B⑴求证：DE平分∠BDC； ⑵若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
E M D AC
模块二 等边三角形
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定 义 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形． B示例剖析 A 如图△ABC中，AB?AC?BC，则△ABC是等边三角形. 等边三角形的性质： 三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60?． ACBC如图，△ABC是等边三角形，则AB?AC?BC，?A??B??C?60° A 等边三角形的判定： ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形． ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形． ⑶有一个角是60?的等腰三角形是等边三BC 角形． 若AB?AC?BC，则△ABC是等边三角形 若?A??B??C，则△ABC是等边三角形 若AB?AC，，?A?60°（或?B?60?，或?C?60?）则△ABC是等边三角形
夯实基础
【引例】下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角
是60?的三角形；④有一个角是60?的等腰三角形；⑤以等边三角形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】 D. 点拨：所给五个命题都可通过证明得到它们都是等边三角形．
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