第6讲 对数函数
一、知识梳理
1．对数函数的图象与性质
a>1 0
对数函数图象的特点
(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0 x?1?(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，?，－1?， ?a? 函数图象只在第一、四象限． (3)在直线x＝1的右侧：当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0 二、习题改编 1．(必修1P74A组T7改编)函数y＝log0.5（4x－3）的定义域为 ． 1 ??4x－3>0，3 解析：要使函数有意义，故满足?解得 4?log0.5（4x－3）≥0，? ?3?答案：?，1? ?4? 111－2．(必修1P73练习T3改编)已知a＝23，b＝log2，c＝log1，则a，b，c的大小关 33 2系是 ． 答案：c>a>b 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2x及y＝log13x都是对数函数．( ) 3 (2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 1＋x(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( ) 1－x(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏 常见误区(1)忽略真数大于零致误； (2)忽视对底数的讨论致误． 1．函数f(x)＝log2x的单调递增区间为 ． 解析：设t＝x，因为y＝log2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ ． 解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0 22 1 答案：2或 2 2 2 2 2 对数函数的图象及应用(典例迁移) (1)若函数y＝a(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象 大致是( ) |x| ?1?x(2)若方程4＝logax在?0，?上有解，则实数a的取值范围为 ． ?2? 【解析】 (1)由于y＝a的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B. (2)构造函数f(x)＝4和g(x)＝logax， 当a>1时不满足条件， x|x| ?1?当0 12?1??1?则f??≥g??，即2≥loga，则a≤， 22?2??2?所以a的取值范围为?0， ??2??. 2? 【答案】 (1)B (2)?0， ??2?? 2? 1x【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当0 2范围为 ． 解析：构造函数f(x)＝4和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0 x?2? ?，1?. ?2? 3 答案：? ?2? ，1? ?2? 对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为： (1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)； (2)在同一直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象； (3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值． 1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( ) 解析：选C.函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C. ??log2x，x>0，2．已知函数f(x)＝?x且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根， ?3，x≤0，? 则实数a的取值范围是 ． 解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距． 由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点． 答案：(1，＋∞) 对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 比较对数值的大小 (2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.3，则a，b，c的大小 关系为( ) 4 0.2
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