2012年青岛大学605数学分析考研试题

青岛大学2012年硕士研究生入学考试试题

科目代码： 605 科目名称： 数学分析 （共2页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效

一、求下列极限（满分27分） 1．limnn??n ．

21lnx2．lim(x?1?x)x??? ．

3．limn(n??111????) ． 2222n?1n?22n二、求下列积分（满分33分） 1．求积分 ?a0a2?x2dx (a?0)．

2．设D是由x?y?a,x?y?b,y??x,y??x(0?a?b,0????)所围的闭区域，求

??dxdy .

D3．设S是上半球面 z?R2?x2?y2，取上侧，计算曲面积分

??yzdydz?zxdzdx?dxdy .

S三、（满分10分）设曲线C的方程为 x?1?t2,y?t?t2，求曲线C上在t?2对应的点P处的切线方程。

1四、（满分10分）证明 f(x)?sin 在(0,1)内不一致连续。

x五、（满分10分）设f在[a,b]上连续，且有f(a),f(b)?[a,b]， 求证 ???[a,b]，使得 f(?)?? ．

1

六、（满分10分）设f在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且有

x?b?limf?(x)?A?R，用微分中值定理证明 f??(b)?A ．

七、（满分10分）证明级数 ?n?1?sinnxn,x?(0,?) 条件收敛。

八、（满分15分）设fn(x),n?1,2,?,均在点x?b连续，数列

{fn(b)} 发散，求证 ???0，{fn(x)}在(b??,b)内非一致收敛。

九、（满分10分）确定幂级数 ?n2xn?1的收敛域，并求其和函数。

n?1102xe?(1?t)x?t2??dt ， g(x)???edt?，2?0?1?t22?十、（满分15分）设 f(x)??证明： f(x)?g(x)??4(x?0) . （提示：求f,g的导数）

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