人教版七年级数学上册知识大图
第一章：有理数
一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义
（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；
（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；
（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。
概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要
严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。 ②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。
③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；
④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；
例1 下列说法正确的是( )
A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数； B、非负数就是正数；
C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数； D、0既不是正数也不是负数；
?0 ，则a是 ；若a?0，则a是 ；若a?b，
则a?b是 ；若a?b，则a?b是 ；（填正数、负数或0）
例5 若a2、有理数的概念及分类
整数和分数统称为有理数。 有理数的分类如下：
（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：
??正整数??正整数??正有理数???整数?0?正分数 ????有理数?有理数?0?负整数??正分数负整数?分数??负有理数??????负分数?负分数??概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化
成整数或分数；
②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数；
③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；
例6 若a为无限不循环小数且a3例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，
4正整数集合负整数集合
1，0.125，0，?，?6，?0.25，
3
?0，b是a的小数部分，则a?b是（ ）
A、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能确定 例7 若a为有理数，则a不可能是（ ） A、整数 B、整数和分数 C、
??
? 整数集合?? ?
3、数轴
数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。
? 正分数集合?
q(p?0) D、? p例3 如果向南走50米记为是?50米，那么向北走782米记为是 ____________, 0米的意义是______________。
例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么?5克表示_________________________
知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我
们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。
1
标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；
②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向； ③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等； ④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数?a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 ⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式L?两个公式选择那个都一样。
例8 在数轴上表示数3的点到表示数a的点之间的距离是10，则数a例9 a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）
③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，
且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。 ④在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。 ⑤如果数a和数b互为相反数，则a+b=0；
a??1(ab?0)或ba?b或L?b?a，这
b??1(ab?0)； a⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可； 例如a
例11 下列说法正确的是（ ）
A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数； B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1；
? ；
若在数轴上表示数3的点到表示数a的点之间的距离是b，则数a? 。
?b的相反数是b?a；
b aA、 a+b＜0 B、 ab＜0 C、
b例10 下列数轴画正确的是（ ）
4、相反数
0 a ＜0 D、a?b?0
C、如果a+b=0，则数a和数b互为相反数； D、互为相反数的两个数一定不相等； 例12 求出下列各数的相反数
①
a4 ②a?1 ③a?b ④3c2
0 ?1
A
0 B
1
例13 化简下列各数的符号 ①?(?4.5) ②?(?13) ③???(?2)? ④???????0.2??? 5知识窗口：①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数；
?2?1 0 1 2 —2
C
—2
?1?2 0 1 2 D
②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于
一个正号，而与正号的个数无关。
5、绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值
如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。 概念剖析：①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫
然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。
②很显然，数a的相反数是?a，即a与?a互为相反数。要把它与倒数区分开。
2
(a?0)?a是它的相反数，可用字母a表示如下：a???0(a?0)
??a(a?0)?（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，
也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即
①（– 3）–（– 4）+7 ② ③
12?5?（?10）?2?（?）
33??5.3?+??3.2????2.5????4.8?
（2）有理数加法的运算律：
加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)
知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。 例21 计算下列各式
①(?7)?(?3)?(?8)?(?10)?2 ②0.125?32、有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。 （3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算； 概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。 转化后它满足加法法则和运算律。 例22 计算：?7?11?9?5 例23 月球表面的温度中午是101oa?0。
②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对
值相等。
例14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( )
A、互为相反数 B、相等 C、积为0 D、互为相反数或相等 例15 已知ab>0,试求
112?(?3)?(?11)?(?0.25) 483|a||b||ab|??的值。 abab例16 若|x|=-x，则x是_________数； 例17 若│x+3∣+∣y—2∣=0，则（x?例18 将下列各数从大到小排列起来
y)2005 = ；
53、 ?、0.0001 64例19 如果两个数a和b的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ）
a A、a?b B、??1 C、a?b?0 D、不能确定
b0、
?C，半夜是?153oC，中午比半夜高多少度？
例24 已知m是6的相反数，n比m的相反数小5，求n比m大多少？ 3、有理数的乘法
（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数
与0相乘都得0。
（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。 （3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也
可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。
概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得
负”
②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，
二、有理数的运算 1、有理数的加法
（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 例20 计算下列各式
3
则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。
③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。 例25 计算下列各式：
概念剖析：①“a” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a； ②(?a)nn??an。因为?an表示n个?a相乘，而(?a)n表示n个a的相反数；
2n17111(?1.25)?1?(?2.5)?(?) ② (?12)?(???1)
7846255424?(?5) ③(?45.75)?2?(?35.25)?(?2)?10.5?(?7) ④4999925①
4、有理数的除法
有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。
概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转
化，转化后它满足乘法法则和运算律。
②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a的倒数为
③任何数的偶次幂都得非负数，即a3?0。
例27 ①2的意义是_________________________；
②?5的意义是________________________；
465)的意义是_________________________； 7322例28 当a??3，b?时，则a?b?_________；
2③(?例29 计算：(?2)例30 若a,b(aA、a2n2008?(?2)2009
1(a?0)；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，anm即的倒数为；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒mn数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。
例25 倒数是其本身的数有_________； 例26 计算下列各式： ①?2.5?1?0,b?0)互为相反数，n是自然数，则（ ）
2n?1和b22n互为相反数 B、a和bn2n?1互为相反数
C、a和b互为相反数 D、a和b互为相反数
知识窗口：所有的奇数可以表示为2n?1或2n?1；所有的偶数可以表示为2n。 6、有理数的混合运算
（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。
（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。 知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括
号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。
4
2n11?(?8) ②(?5)?7 ③(?48)?(?6) 825、有理数的乘方
（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“a”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。 （2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，?1偶数次幂是1、?1奇数次幂是?1；
n
例31 计算下列各式
而四舍五入所得到的结果千分位为0时，该0不能省略。如：将2.089656012?1?1??1?2??1?32①10?????1?1???6 ②??3??2?????4?2????
3??4?3??3??2?例31 已知a的绝对值为3、且a满足x的一元一次方程(a?b)x则a3精确到千分位，应为2.090，不应为2.09。其他分位也应注意。
②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字”； 科学记数法a?10的形式中，效数字只与a有关，而与10无关。
例32 用科学记数法表示下列各数
①1893400000 ②800032000 ③0.000003578012 ④120万人民币； 例33 ①3.256有_________位效数字，它们分别是_________________________；
②0.032560有_________位效数字，它们分别是_________________________； ③3.2560?10有_________位效数字，它们分别是_________________________； ④3.256?10有_________位效数字，它们分别是_________________________；
例34 用四舍五入法完成下列各题 ①0.0295488nn2?(3?a)x?2?0，
?b2?a的值为多少？ bn7、科学记数法
（1）把一个大于10的数记成a?10的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。
（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
（3）一个数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字，叫做这个数的有效数字。
n概念剖析：I 把一个数b用科学记数法表示为a?10，其中1?a?10，n为自然数，
?_________（精确到千分位），所得结果有___________位效数字，它们?_________（精确到万分位），所得结果有___________位效数字，它
分别是_______________________；
②0.999999③0.93 练习： 一、选择题：
1、下列说法正确的是（ ）
A、非负有理数即是正有理数 B、0表示不存在，无实际意义 C、正整数和负整数统称为整数 D、整数和分数统称为有理数 2、下列说法正确的是（ ）
A、互为相反数的两个数一定不相等 B、互为倒数的两个数一定不相等 C、互为相反数的两个数的绝对值相等 D、互为倒数的两个数的绝对值相等 5
们分别是_______________________；
①当b?10时， n为这个数b的整数位数减1；例如：用科学记数法表示
188000.04得1.8800004?105，它满足 1?1.8800004?10，
?_________（精确到个位）所得结果有___________位效数字，它们分别是
5?6?1 （188000.04的整数部分有6位数）；
②当1?b?10时，n为0；例如：用科学记数法表示1.8800004得1.8800004?10③当b0_______________________；
；
?1时，n为由b变到a的过程中小数点移动位数的相反数；
④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。
II 在让数字精确和数有效数字时应注意：
①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，
3、绝对值最小的数是（ ） A、1 B、0 C、– 1 D、不存在 4、计算
19、如果a的相反数是– 5，则a=_____，|a|=______，|– a– 3|=________。 20、若|a|=4，|b|=6，且ab<0，则|a-b|=__________。 ??2?4?(?2)所得的结果是（ ）A、0 B、32 C、?32 D、16
45、有理数中倒数等于它本身的数一定是（ ）A、1 B、0 C、–1 D、±1 6、（– 3）–（– 4）+7的计算结果是（ ）A、0 B、8 C、– 14 D、– 8 7、（– 2）的相反数的倒数是（ ）A、12 B、?12 C、2 D、– 2 8、化简：a2?4，则a是（ ）A、2 B、– 2 C、2或– 2 D、以上都不对
9、若
x?1?y?2，则x?y=（ ）A、– 1 B、1 C、0 D、3
10、有理数a，b如图所示位置，则正确的是（ ）
A、a+b>0 B、ab>0 C、b-a<0 D、|a|>|b|
二、填空题
11、（– 5）+（– 6）=________；（– 5）–（– 6）=_________。 12、（– 5）×（– 6）=_______；（– 5）÷6=___________。
13、??2?2?1?4??41?2???_________；?2?2=________。
14、
??3?2?127?__________；?32?19?________。 15、?12002?(?1)2003?_________；
16、平方等于64的数是___________；__________的立方等于– 64 17、?57与它的倒数的积为__________。 18、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则a+b=_______；cd=______；m=__________。
三、计算：
（1）?48?82?(?25)?(?5)2 （2）?31352?55?(?2)?14
（3）?32?(?3)2?3?(?2) （4）24?8?(?4)?(?23)
（5）?32?16?(?2)3?(?6)?(?3) （6）?1.3???15??5?(?3)?9??
四、某工厂计划每天生产彩电100台，但实际上一星期的产量如下所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 –1 +3 –2 +4 +7 –5 –10 比计划的100台多的记为正数，比计划中的100台少的记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天的产量最多，那一天的产量最少？
五、某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电，下表是本星期的生产情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 –1 +3 –2 +4 +7 –5 –10 比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？
第二章：整式的加减
一、代数式的概念
1、用字母表示数之后，可能用字母表示的有
（1）具有一定数量的数；（2）一些变化的规律；（3）数的运算法则和运算定律；（4）数量关系；（5）数学公式。 2、用字母表示数的意义
用字母表示数是代数的一个重要特点，它的优点在于能简明、扼要、准确地把数和数之间的关系表示出来，化特殊为一般，深刻地揭示数量之间的联系，为我们学习数学和应用数学带来方便。 6
3、用字母表示数学公式
（1）加法、乘法的运算律；（2）平面图形的面积公式；（3）平面图形的周长公式；（4）立体图形的体积公式。 4、代数式的概念
用字母表示数之后，出现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们叫做代数式。
概念剖析：①运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、绝对值，大中小括号以及以后要学到
的开方符号，但不包括大于、小于号、等号等表示数量关系的关系符号； ②单个的数字和字母也是代数式。
③判断一个式子是否是代数式，只要看看它能否满足代数式的概念即可。
例1、 下列的式子中那些是代数式 ①
用语言把一个代数式的数学意义表示出来时，要正确表达式中所含有代数运算以及它们运算顺序，还要注意语言的简练准确。 例4、说出下列代数式的意义
①2m?n 的意义是_______________________________________；
②2(m?n)的意义是_______________________________________； ③m?7、单项式
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，其中数因数叫做单项式的系数，所有字母因数的指数之和叫做单项式的次数。单独的一个数或字母也叫做单项式。 概念剖析：①单项式是代数式中的一种特殊形式；
②要判断一个式子是否是单项式，只要看看它是否满足单项式的定义；
③单独的一个数作为单项式时，其系数就是它本身，次数为0；单独的一个字母作
为单项式时，其系数就是1，次数为它本身的次数；
④若一个单项式的次数为m，我们就叫该单项式m次单项式； ⑤单项式与单项式相等的条件：几个单项式完全相同。 例5、下列代数式中， ①ab ②1 ③?2x3 ④
n的意义是_______________________________________； tx?1?y?2 ②a?10n ③3x?5?0
④
1112x?32?? ⑤2x2?8x?5 ⑥?3m ⑦2x?7?2y??2m?pmn7x?5y????
⑧ 57 是代数式的有_________________________（只填序号）；
1例2、下列各式中不是代数式的是（ ）A、π B、0 C、 D、a+b=b+a
x?y5、书写代数式的规定
（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·”代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写“×”号。
（2）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式。
（3）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起来。 例3、下列个代数式中 ①
31?a ⑤3x?8
8x2009a?b5?a ⑥⑦ ⑧?a?b217例6、代数式5abc，?7xA、4个
2 是单项式的有 （只填序号）；
?1，?
21x，21中，单项式的个数是（ 55C、2个
D、1个
）
B、3个
n?1124a ② ?a?b??c ③n?3人 ④2·5 ⑤2.5ab 2例7、单项式?2mx值；
例8、若单项式3x 7
5y2?n?1是关于x、y的4次单项式，其系数是6，求m和n的
书写规范的有_________________________（只填序号）； 6、代数式的意义
代数式的意义是把代数式的数量关系翻译成用文字叙述的数量关系，即为读代数式
y4与单项式mxny4相等，则m? ，n? ；
8、多项式
几个多项式的和叫做多项式，其中、每个单项式都叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数叫做该多项式的次数，每个单项式的系数都是多项式的系数；如果一个多项式有n项，且次数为m，则我们称该多项式为m次n项式。 概念剖析：①多项式是代数式中的一种特殊形式；
②在多项式里，所有字母的指数都是非负数。
③多项式与多项式相等的条件：几个多项式的对应项完全相同。
例9、多项式①3x?5y?2z是由哪些项组成 ，系数是 ，次数 ；②
12ab??r2是由哪些项组成 ，系数是 ，次数 ； 例10、若(m?2)x5y?3x3y?x2?xy?1是关于x、y的四次四项式，则
m? ；
例11、①若x3y?2xny2?(n?2)x?1是关于x、y的四次三项式，
则n? ； ②若x3y?2xny2?(n?2)x?1是关于x、y的多项式，且不含一次项则
n? ；
例12、当x取何值时，多项式23x?5y?5可化简为关于y的一次单项式； 例13、若多项式7xmy2?3xy?n与多项式nx4y2?3xy?7相等，则m? ，
n? ；
9、整式 单项式和多项式统称整式 二、代数式的计算 1、同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，常数项也是同类项。 概念剖析：判断同类项的标准有两条：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数也分别相同。
即：“两相同，一关系；”两相同：所含字母相同、相同字母的指数也分别相同；一关系：字母与字母之间是乘积关系。
例14、指出多项式2x4y3?8xy?23x3y4?x4y3?12xy里的同类项它们分别是 ；
例15、若?7xm?2y4与?3x3yn是同类项，则m? _______, n? ________；
例16、当n?______时，3x2y5 与?2x2y3n?1是同类项；
2
、合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，不是同类项不能合并。 合并同类项法则：（1）系数相加，所得结果作为系数；（2）字母和字母的指数不变。 例17、把多项式13x?9?76x?1?2x2?3x合并同类项后得___________________；
例18、当a??12时，求多项式3a2?5a?2?6a2?6a?3的值； 例19、已知?2xmyn与?123xy同类项，求多项式
2m2n?3mn?5m2n?3mn?6?4m2n?7m2n?2m2n?5的的值；
例20、若单项式x4yn与?2x2m?3y3的和仍是单项式，则4m?3n? ； 3、去括号
去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项符号都不改变；（2）括号前是“ – ”号，把括号和它前面的“ – ”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
例21、将下列各式的括号去掉①3a?(ab?bc?1) ②3a?(ab?bc?1) ③?(?7x2y3)?(2xy?7x2y3) ④?(?7x2y3)?(2xy?7x2y3)
⑤?(?3a)?(ab?bc?1)
8
例22、化简a????5a???a?b????2b
4、整式的加减
整式的加减实质上就是合并同类项，如果有括号的就先去括号，然后合并同类项 概念剖析：整式加减运算的步骤：（1）去括号；（2）判断同类项；（3）合并同类项； 例23、①求单项式5x2y，?2x2y，2xy2，?4x2y的和； ②求单项式5x2y，?2x2y，2xy2，?4x2y的差；
③求5a2?2a?5与4a2?3a?4的和； ④求5a2?2a?5与4a2?3a?4的差；
⑤已知A?2x?3，B?3x2?3x?2，C?2x2?3x?2，求A?2B?3C；⑥已知
A?1?x2，B?x2?4x?3，C?5x2?4，求多项式
A?12[A?2B?(B?C)]?B的值。
5、代数式的值的计算
用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值。 求代数式的值要注意的问题：（1）字母的数值必须确保代数式有意义；（2）在代入数值计算之前要把代数式化到最简；（3）字母的取值保证它本身表示的数量有意义；（4）字母的取值不同，代数式的值也不同。
代数式的值的计算方法：①从已知出发去求未知（向前看）；
②从未知出发去找未知和已知关系（回头看）；
③从已知和未知同时出发待相遇去找未知和已知关系（来回赶）；例24、已知2x2?xy?6，3y2?2xy?9，求4x2?8xy?9y2的值；
例25、；已知a?3b?2，求代数式2a?3?6b的值；
例26、当
x?yx?y?2时，求代数式x?yx?y?2(x?yx?y)的值；
例27、已知m2?m?1?0时，求代数式m3?2m2?2008的值
例28、若x?2y?3z?10，4x?3y?2z?15，则x?y?z? ；
例29、已知a2?a?1?0，则a2008?a2007?a2006? ；
例30、已知：a,b,c,d均为有理数，且a?b?4、c?d?2、
a?c?b?d?c?a?d?b，则a?b?c?d的最大值为 。
三、探索规律
1、探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律
2、用代数式表示简单问题中的数量关系，运用合并同类项，去括号等法则验证所探索的规律。 例31、观察下列算式：
31?3、 32?9、 33?27、 34?81、 35?243、 36?729、 37?2187
38?6561、……用你发现的规律写出32008的末位数字是 ，32009的末位数字
是 ；
例32、将一张长方形的纸对折，如下图所示，可得到1条折痕（图中虚线），继续对折，对折
时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得到7条折痕，那么对折4次可以得到 条折痕；如果对折n次，可以得到 条折痕。 第1次对折 第2次对折 第3次对折 例33、民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶9
数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有 种不同方法； 例34、观察下列顺序排列的等式：
9×0十1＝1，9×1+2=11， 9×2+3＝21， 9×3+4=31，9×4+5=4l 猜想：第年n个等式应为 。 例35、如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，
按这种方式摆下去，当每边上摆20(即n=20)时，需 要的火柴棍总数为 根。 例36、观察下列等式
律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： 。 例37、给出下列算式：
l2+1=1×2，22+2=2×3， 32 +3=3×4，……你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： 。
例38、一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天．
5、已知公式
2、用代数式表示比y的2倍少1的数，正确的是（ ） A、2( y – 1 ) B、2y + 1 C、2y – 1 D、1 – 2y
3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为（ ） 1、下列各式中不是代数式的是（ ）A、π B、0 C、练习题： 一、选择题：
1 D、a+b=b+a x?y35题
9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……这些等式反映出自然数间的某种规
45n?m)元 B、(n?m)元 C、(5m?n)元 D、(5n?m)元 541111124、当a?,b?时，代数式(a?b)的值是（ ）A、 B、 C、 D、
3612641 36A、(11118??，若m=5，n=3，则p的值是（ ）A、8 B、 C、
815pmn111ab1 A． B．? C. D．
a?baba?bab
D、
15 826、下列各式中，是同类项的是（ ） A、3x例39、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：
y与?3xy2 B、3xy与?2yx C、2x2与2x D、5xy与5yz
二、填空题：
7、某商品利润是a元，利润率是20%，此商品进价是______________。
2?a?b?8、代数式的意义是______________________________。
(1)第4个图案中有白色地面砖 块；(2)第n个图案中有白色地面砖 块． 例40、—种商品每件进价为a元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( )． A．0.125a B．0.15a C．0.25a D．1.25a
10
c9、当m=2，n= –5时，2m2?n的值是__________________。
10、化简
?1?m???1?m??__________________________________。
22利用上面的规建计算：16、代简求值：2(2x
311?=__________________；
9?1011?12三、解答题： 11、已知当x
12、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当a=5cm，b=4cm，r=1cm时，计算出阴影部分的面积是多少。
?1,y?1时，代数式2xyz?8x2z的值是3，求代数式2z2?z的值。 2?6x?4)?3(x3?x2?2x?3)，其中x??第三章：一元一次方程
2。 3一、方程的有关概念 1、方程的概念
（1）含有未知数的等式叫方程。
（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程
叫一元一次方程。且一元一次方程的一般形式为：ax?b?0(a?0)
概念剖析：①方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知数的等式叫方程； ②等式：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式；
③一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数是1；知数的
系数不为0；
例1、下列式子是方程的是（ ）
13、已知A=x – 2y + 2xy，B= 3x – 6y + 4xy 求3A – B。
14、代数式x
15、观察下面一组式子：
2A、3x?5y?9 B、
11?7y?0 C、?1 D、9xx3?5?10?2
例2、下列方程是一元一次方程的是( )
?4x?2的值为3，求代数式2x2?8x?5的值是多少
A、x?2y?9 B、x2?3x?1 C、
311?1 D、x?1?3x x2例3、已知方程mx?nxb?1?2?0是关于x的一元一次方程，求m、n、b的值；
?b，则
?b，
2、等式的基本性质
（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。若a1?（1）
11111111111111?1?；?；（2）??（3）???（4）???…… 22232334344545a?c?b?c或a?c?b?c。
（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。若a写出这组式子中的第（10）组式子是_______________________________； 第（n）组式子是___________________________________；
11
则ac?bc或
ab?； cc②移项必变号，“+”变“—”，“—”变“+”；“×” 变“÷”，“÷”变“×”；即
移加变减，移
（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若a（4）传递性：如果a①如果2x?3?②如果
例4、用适当的数或式子填空
?b，则b?a；
乘变除，移减变加，移除变乘；
3、解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的步骤 主要依据 注意问题 ?b，且b?c，那么a?c，这一性质叫等量代换。
5，那么2x?5?____________；
2x?6，那么x?____________； 3③如果a?3?3b?12，那么___________________?3b；
11④如果?a，那么2a?___________________；
b2二、解方程
1、解方程及解方程的解的含义
求得方程的解的过程，叫做解方程。使方程的左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 例5、方程4x例6、如果x注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项1、去分母 等式的性质2 去括号法则 乘法分配律 则必加括号。 2、去括号 母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，后去括号，括号内各项的符号一定要变号。 越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不3、移项 等式的性质1 合并同类项法则 等式的性质2 动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。 4、合并同类项 移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变。??1的解为____________________； 25、系数化为1 6、检验 两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），可分子、分母颠倒。 ?1是方程m(x?1)?4(x?m)的解，则m? _________________；
2x?a?4(x?1)的解为x?3，则a的值为（ ） 例7、程
2A、2 B、22 C、10 D、—2
例8若(a?3)与
2知识窗口：①解相同的方程称为同解方程；
②方程两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，方程的解不发生改变（方程
同解原理1）；方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原理2）；
例9、解程
b?1互为相反数，则a?_____________，b?__________；
2、移项的有关概念
把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形的过程叫做移项。这个法则是根据等式的性质推出来的，是解方程的依据。要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边。
知识概括：①移项不仅仅是位置变化，而是将方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到
另一边；
12
2x?15x?1??0.5 68?12
解：根据（ ）得：4(2x?1)?3(5x?1)（ ）得：8x?4?15x?3?12 根据（ ）得：8x?15（ ）得：?7x?12?4?3
?19
根据（ ）得：x??25 7。 a百、a千、a万表示个位、十位、百位、千位万位的数字）
面积问题：记住特殊图形的面积公式，非特殊图形的面积可用“面积分割补法”去计算。 例11、用代数式表示
①甲乙两数和的平方与甲乙两数的平方的差的积； ②n除m的商与c的差的2倍大1的数；
例12、设n表示任意一个整数利用含有n的代数式表示：
①任意一个偶数；②任意一个奇数；③不能被3整除的数；④三个连续偶数的平方和； 例13、一项工程甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，若两队合作，完成这项工程需
要多少天？
例14、一个水池装有两条进水管，单开甲进水管，x小时可以将空池注满，单开乙进水管，y
小时可以将空池注满，则两管一起开，一小时可以注水多少？
例15、甲乙两人行走，甲走完全程需要时间为，乙走完全程需要时间为，则两人一小时共走
全程的几分之几？
例16、一轮船在A、B两地航行，已知A、B两地相距skm，从A到B是顺水，从B到A
是逆水，轮船在静水中的速度为每小时mkm，水流的速度为每小时nkm，求轮船在A、B两地间往返一次的平均速度。
例17、轮船在A、B两地航行，静水中的速度为每小时mkm，水流的速度为每小时nkm，
求轮船在A、B两地间往返一次的平均速度。
例18、张大佰从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸，以每份0.5元的价格售出了b份，
剩余的以每份0.2元的价格退回了报社，则张大佰卖报收如_______元。
例19、某超市为了促销，常用打折的方法.某种商品的零售价为元，先后两次打折，第一次打
八折，第二次打七折，两次打折后的零售价为多少元，比原价便宜多少元？
例20、甲、乙两人从同地出发同向而行，甲每小时走m(km)，乙每小时走n(km)（m?n），
乙比甲先走a小时， 小时后甲可以追上乙。
请选择正确的答案填如上面的括号内
A、去括号 B、合并同类项 C、方程等式的性质1 D、方程等式的性质2 例10、各方程
y?1y?2x0.2?0.3x?4???1 ①y? ②260.71.42211③6?9(x?)? ④(x?1)?1?(x?2)
3325二、列方程初步（列代数式） 1、列代数式
（1）在解决一些实际问题时，往往需要先把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子写出来，这就是列代数式。
（2）列代数式的实质也就是把文字语言转化成数学符号语言，即用代数式表示。
（3）正确列代数式的关键是：①认真审题，理清数量关系，抓住关键性的词语（字句）；②正确判断各数量关系中的运算顺序；③要理解并掌握基本的数量关系。如： 路程问题：路程=时间×速度 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
平均速度=总路程÷总时间
轮船航行问题：顺水航行的速度=静水速度+水流速度 逆水航行的速度=静水速度—水流速度 工程问题：工作量=工作时间×工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率
价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 利润问题：利润=售价—成本 售价=利润+成本 成本=售价—利润 数字问题：表示数字的方法：
1?a个?10?a十?100?a百?1000?a千?10000?a万??（其中a个、a十、
13
例21、上等米每千克售价为x元，次等米每千克售价为
y元，取上等米a千克和次等米b千梯形面积公式：S?1(a?b)h，a、b为上下底边长，h为梯形的高，S2??r2，r为圆的半径，S为圆的面积；
为梯形面积；
克，混合后为了价格持平，则混合后的大米每千克售价应为多少元？
例22、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，
又降价10%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为多少？
例23、如果用a名同学在b小时内搬运c块砖，那么c名同学以同样的速度搬运a块砖需要
多少时间？
例24、—种商品每件进价为a元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的
九折出售，每件还能盈利多少元？
例25、一个四位数，它的千位数字、百位数字、十位数字和个位数字分别是a、b、c、d把这个四位数的顺序逆过来（如7643变为3467），求所得的四位数与原来的四位数的差。
例26、（1）一个偶数和一个奇数的和是奇数吗？为什么？（2）三个连续自然数之和是三的倍
数？为什么？
例27、一个两位数，当它的个位数字是十位数字的2倍时，它能被12整除吗？为什么？ 三、列方程解应用题
1、列方程解应用题的一般步骤
（1）将实际问题抽象成数学问题；（2）分析问题中的已知量和未知量，找出相等关系；（3）设未知数，列出方程； （4）解方程； （5）检验并作答。 2、一些实际问题中的规律和等量关系
（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7。日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围。 （2）几种常用的面积公式： 长方形面积公式：S正方形面积公式：S圆形的面积公式：S三角形面积公式：S积。
?1ah，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S2为三角形的面
（3）几种常用的周长公式： 长方形的周长：L正方形的周长：L圆：L?2(a?b)，a，b为长方形的长和宽，L为周长。
?4a，a为正方形的边长，L为周长。
?2?r，r为半径，L为周长。
（4）柱体的体积等于底面积乘以高，当休积不变时，底面越大，高度就越低。所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积。 （5）打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价–成本。
（6）行程问题中关建的等量关系：路程=速度×时间，以及由此导出的其他关系。
（7）在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系。
（8）在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程。
例28、甲、乙、丙三人，甲每分钟走60m，乙每分钟走67.5m，丙每分钟走75m，如果甲、乙两人在东村，丙在西村，三人同时相向而行，丙遇到乙后2分钟又遇到了甲，求东、西两村的距离。
例29、某工厂甲、乙、丙三个工人每天生产的零件数，甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是2∶3。若乙每天所生产的件数比甲和丙两人的和少945件，问每个工人各生产多少件？
?ab，a为长，b为宽，S为面积；
例30、一架飞机飞行于两城之间，顺风飞行需要5小时30分钟，逆风飞行需要6小时，已知风速是每小时24km，求两城之间的距离。
例31、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售，每吨可获利500元，制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元。该工厂的生产能力是：如果
?a2，a为边长，S为面积；
14
制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕为此，该厂设计了两种可行方案：
方案1、尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶;方案2、将一部分制成奶片，其余部分制成酸奶销售.
无论采取哪一种方案，都必须保证4天完成，请设计一下，选哪一种方案好?为什么? 例32、某初一学生在做作业时，不慎将墨水打翻，使一道作业搞污且只能看到如下字样：“甲、乙两地相距40km，摩托车的速度为45km/h，货车的速度为充完整，并将列方程解答。
例33、有一些相同的房间需要粉刷墙面。一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样的时间内5名二级技工，粉刷了10个房间之外，还多刷了40平方米的墙面。每名一级技工比二级技工一天多刷10平方米墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积。
例34、已知购买甲种物品比乙种物品贵5元，某人用300元买到甲种物品10件和乙种物品若干件，这时，他买到甲、乙物品的总件数比把这笔款全部都购买甲种物品的件数多5件，问甲、乙物品每件各多少元？
例35、某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
例36、A、B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72km；甲车出发25分钟后，乙车从B地从发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，两车仍然按原来的速度继续行驶，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？
例37、甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？
15
35km/h， ？”（涂墨部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业补
例38、为了拓展销路，商店对某种照相机的售价作了调整，按原售价的8折出售，此时的利润率为14%.若此种照相机的进价为1200元，该照相机的原售价的多少元？
例39、右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 .
例40、右图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中的数据为相应两点间的路程（单位：km）， 以学生从A处出发，以2km/h的速度步行游览，每个景点的逗留时 间均为0.5小时。
（1） 当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处时，
共用了3小时，求C—E的路程；
（2） 若此学生打算从A处出发，步行速度与在每个景
点逗留的时间不变，且在4小时内看完三个景点返 回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明你 的设计理由（不考虑其他因素）。 练习题： 一、填空题：
1、请写出一个一元一次方程：_____________________。 2、如果单项式
D 1 1.6 C E 0.4 1 A B 1.2
2m?22xyz与?xy3m?1z2是同类项，则m=____________。 3?1的解，求a=_____________。
3、如果2是方程ax?4(x?a)4、代数式4x?5和3x?16的值是互为相反数，求x=_______________。 5、如果|m|=4，那么方程x?26、在梯形面积公式S = 7、方程(2a?m的解是___________________。
1(a?b)h中，已知S=10，b=2，h=4求a=_________。 2?1)x2?3x?1?4是一元一次方程，则a?______________。
二、选择题：
1、三个连续的自然数的和是15，则它们的积是（ ）A、125 B、210 C、64 D、120
2、下列方程中，是一元一次方程的是（ ） （A）x28、珊瑚中学修建综合楼后，剩有一块长比宽多5m、周长为50m的长方形空地. 为了美化环
?4x?3; （B）x?0; （C）x?2y?1; （D）x?1??1. x境，学校决定将它种植成草皮，已知每平方米草皮的种植成本最低是a元，那么种植草皮至少需用（ ）
（A）25a元； （B）50a元； （C）150a元； （D）250a元. 三、解方程：
1、1?38?x 3、
3、方程?2x111的解是（ ）（A）x??; （B）x??4; （C）x?; （D）
424x??4.
4、已知等式3a（A）3a?5??2b?5，则下列等式中不一定成立的是（ ） ．．．
2b; （B）3a?1?2b?6; （C）3ac?2bc?5; （D）
????2?15?2x? 2、2x?7??5(2?x)
25b?. 33x?3x?5、解方程1?62a?（A）1?，去分母，得（ ）
x?32x?3112??1 4、x?[x?(x?1)]?(x?1) 64223x?3?3x; （B）6?x?3?3x; （C）6?x?3?3x; （D）
1?x?3?3x.
6、下列方程变形中，正确的是（ ） （A）方程3x?2（B）方程3?x（C）方程
?2x?1，移项，得3x?2x??1?2;
5、
0.2x?0.90.03?0.02x??1
30.03?2?5?x?1?，去括号，得3?x?2?5x?1;
6、已知多项式(2mx223t?，未知数系数化为1，得x?1; 32x?1x??1化成3x?6. （D）方程
0.20.57、重庆力帆新感觉足球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3:5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x，则列出的方程正确的是（ ）（A）3x（C）5x
?x2?3x?1)?(5x2?4y2?3x)是否存在m，使此多项
式与x无关？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。
四、应用题：
1、在日历上，小明的爷爷生日那天的上、下、左、右4天之和为80，你能说出小明的
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3x?5?32?x?;（B）?32?x;?3?32?x?;（D）6x?32?x.
爷爷是生日是哪天吗？请说明你的理由。
2、把一段铁丝围成长方形时，发现长比宽多2cm，围成一个正方形时，边长正好为4cm，求当围成一个长方形时的长和宽各是多少？
3、用一个底面半径为4cm，高为12cm的圆柱形杯子向一个底面半径为10cm的大圆柱形杯子倒水，倒了满满10杯水后，大杯里的水离杯口还有10cm，大杯子的高底是多少？
4、某单位去年为全体职工投保了团体人身意外伤害保险，如果每年的保险率是0.2%，每人的保险金额都是5000元，这个单位去年向保险公司交纳了1200元的保险费，该单位去年共有职工多少人？
二、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的定义
（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。 （2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。 （3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。 概念剖析：①线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；
每一种几何体从不同的方向去看它，可以得到不同的简单平面几何图形。实际上投影所得到的简单平面几何图形是被投影几何体可遮挡视线的最大部分在平面内所留下的影子。 2、立体图形的展开问题
将立体图形的表面适当剪开， 一、 点、线、面、体
1、点、线、面、体的概念 点动成线，线动成面，面动成体 由平面和曲成围成一个几何体
2、点、线、面和体之间的关系 (1)点动成线、线动成面、面动成体；
(2)体是由面组成、面与面相交成线、线与线相交成点；
例1、如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，?用线连一连．
第四章：几何图形初步
一 几何图形
几何学：数学中以空间形式为研究对象的分支叫做几何学。
从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。几何图形可分为立体图形和平面图形；各个部分不都在同一平面内的几何图形叫做立体图形，各个部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形。
1、几何图形的投影问题
17
②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，
即射线和直线既没有明确的长度，也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说；
③线段只有长短之分，而没有大小之别，射线和直线既没有长短之分，也没有大
小之别；
例1、下列说法正确的是（ ）
A、5㎝长的直线比3㎝长的直线要长2㎝；
B、线段向两个方向无限延伸就形成了直线；
C、直线和射线都是不可度量的，所以它们都无法表示； D、直线AB、射线AB和线段AB表示的都是同一几何图形；
2、线段、射线、直线的表示方法
（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。 （2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。 （3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来
表示。
概念剖析：①将线段的两个端点位置颠倒，得到的新线段与原来的线段是同一线段，即线段
AB与线段BA是同一线段；
②将表示射线的两个点位置颠倒，得到的新射线与原来的射线不是同一射线，即射线AB与射线BA不是同一射线，因为它们的端点和方向不同；
③将表示直线的两个点位置颠倒，得到的新直线与原来的直线是同一直线，即直线AB与直线BA是同一直线；
④识别图中线段的条数要把握一点：只要有一个端点不相同，就是不同的线段；⑤识别图中射线的条数要把握两点：端点和方向缺一不可；
例2、看图回答问题
③直线不能延伸，射线只能向一个方向延伸，线段可以向两个方向延伸； 例3、根据语句画出图形．
例：读下列语句，并按照语句画出图形： （1）直线L经过A、B两点，点B在点A的左边．
（2）直线AB、CD都经过点O，点E不在直线AB上，但在直线CD上．
3、直线事实：过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。 4、线段的比较
（1）叠合比较法；（2）度量比较法。
5、线段事实：“两点之间，线段最短”。连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。 6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。 若C是线段AB的中点，则：AC=BC=二、角
12AB或AB=2AC=2BC。
A B C 1、角的概念：
（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。 2、角的表示方法： 角用“∠”符号表示
（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间） （2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。 （3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。 （4）直接用一个大写英文字母来表示。 3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。 5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 18
（1）图中有线段 条、分别是 、 、 ；
（2）图中有射线 条、分别是 、 、 、 、 、 ； （3）图中有直线 条，它是 ； 线段、射线、直线的联系：
①射线和直线都是有线段无限延伸形成的，把线段向一个方向无限延伸就成了射线，把线段向两个方向无限延伸就形成了直线。 ②射线和线段都可以看成是直线的一部分。
线段、射线、直线的区别：
①线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；
②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，即射线和直线既没有明确的长度，也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说；
（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。 6、画两个角的和，以及画两个角的差
（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。 （2）三角30°、7、角的平分线
从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。 若BD是∠ABC的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=8、角的计算。
9、两个的和为90度的角互为余角，同角或等角的余角相等。两个的和为180度的角互为补角，同角或等角的补角相等。 10、方位角 练习题： 一、选择题
1、如图，以O为端点的射线有（ ）条 A、3 B、4 C、5 D、6
板的每个角的度数，60°、90°、45°。
A、角是由两条射线组成的图形 B、一条射线就是一个周角
C、两条直线相交，只有一个交点 D、如果线段AB=BC，那么B叫做线段AB的中点 6、在同一平面内，两条直线的位置可能是（ ）
A、平行 B、相交 C、相交或平行 D、以上都不对。 7、如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有（ ）个 A、6 B、5 C、4 D、3
8、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线（ ） A、垂直 B、平行 C、垂直或平行 D、以上都不是 二、填空题
9、如图，点A、B、C、D在直线l上
（1）AC=_______－CD；AB + _______ + CD=AD；
（2）图中共有________条线段，共有_______条射线，以点C为端点的射线是________。
10、45°=______直角=_______平角。
11、（1）23°30′=________°；（2）78.36°= ______°____′________″。
12、如果a∥b，b∥c，那么a_____c。
13、如图，∠AOD=∠AOC+_______=∠DOB+_______。
三、解答题
14、如图，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点。
2、平面上有任意三点，经过其中两点画一条直线，可以画（ ）直线 A、1条 B、2条 C、3条 D、1条或者3条
3、点C在线段AB上，不能判断点C是线段AB中点的式子是（ ） A、AB=2AC B、AC+BC=AB C、BC=4、下列画图语句中，正确的是（ ） A、画射线OP=3cm B、连结A、B两点
C、画出A、B两点的中点 D、画出A、B两点的距离 5、下列说法中正确的是（ ）
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15、如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB=150°，求∠COD的度数。 （1）如果AC=8cm，BC=6cm，求MN的长 （2）如果AM=5cm，CN=2cm，求线段AB的长
12∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD
1AB D、AC=BC 2
二、选择题．
5．下面几种表示直线的写法中，错误的是（ ）．
A．直线a B．直线Ma C．直线MN D．直线MO 三、解答题．
四、选择题
6．根据下列语句画出图形：
（1）直线L经过A、B、C三点，点C在点A与点B之间； 1、按下列线段的长度，点A、B、C一定在同一直线上的是（ ） A、AB=2cm，BC=2cm，AC=2cm B、AB=1cm，BC=1cm，AC=2cm C、AB=2cm，BC=1cm，AC=2cm B、AB=3cm，BC=1cm，AC=1cm 2、8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（ ） A、70° B、75° C、80° D、60°
3、直线l上有两点A、B，直线l外两点C、D，过其中两点画直线，共可以画（ ） A、4条直线 B、6条直线 C、4条或6条直线 D、无数条直线 4、或∠1和∠2为锐角，则∠1+∠2满足（ ） A、0°<∠1+∠2<90° B、0°<∠1+∠2<180° C、∠1+∠2<90° D、90°<∠1+∠2<180° 5、下面说法正确的是（ ）
A、过两点有且只有一条直线 B、平角是一条直线
C、两条直线不相交就一定平行 D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 一、填空题．
1．在墙上钉一根木条需_______个钉子，其根据是________． 2．如下图（1）所示，点A在直线L______，点B在直线L________．
3．如下图（2）所示，直线_______和直线______相交于点P；直线AB和直线EF?相交于点______；点R是直线________和直线________的交点．
4．如下图（3）所示，图中共有_____条线段，它们是________；共有______条射线，它们是________．
20
（2）两条直线m与n相交于点P；
（3）线段a、b相交于点O，与线段c分别交于点P、Q． ．探索规律：
（1）若直线L上有2个点，则射线有_____条，线段有______条； （2）若直线L上有3个点，则射线有_____条，线段有______条； （3）若直线L上有4个点，则射线有_____条，线段有______条；
（4）若直线L上有n个点，则射线有_____条，线段有______条．
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