（3）根据题意得：2000×30%=600（人）， 则全校喜欢“Angelababy”的人数为600人； （4）列表如下：（B表示喜欢“李晨”，D表示喜欢“Angelababy”） B B B D D B ﹣﹣﹣ （B，B） （B，B） （D，B） （D，B） B （B，B） ﹣﹣﹣ （B，B） （D，B） （D，B） B （B，B） （B，B） ﹣﹣﹣ （D，B） （D，B） D （B，D） （B，D） （B，D） ﹣﹣﹣ （D，D） D （B，D） （B，D） （B，D） （D，D） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有20种，其中两人都是喜欢“李晨”的学生有6种， 则P=
=
．
．
故答案为：（1）200；（4）
点评： 此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，条形统计图，以及扇形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五、解答题（共1小题，满分12分）
23．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 50 60 70 80 … … 售价x（元/千克） 100 90 80 70 … 销售量y（千克） … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值． 解答： 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得
．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150； （2）根据题意得 （﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元； （3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20） =﹣x2+170x﹣3000
2
=﹣（x﹣85）+4225， ∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
点评： 本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
六、解答题（共1小题，满分12分）
24．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．
考点： 切线的判定；勾股定理；矩形的性质．
分析： （1）利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案； （2）利用勾股定理得出DC的长，即可得出AB的长， 解答： （1）证明：如图所示：连接OF、OC， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°， ∵E为BC边中点，AO=DO，
∴AO=AD，EC=BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形， ∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA， ∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA， ∴∠DOC=∠FOC， ∵在△ODC和△OFC中
，
∴△ODC≌△OFC（SAS）， ∴∠OFC=∠ODC=90°， ∴OF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：如图所示：连接DE， ∵AO=DO，AF=EF，AD=2， ∴DE=20F=2，
∵E是BC的中点， ∴EC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得： DC=∴AB=CD=
．
=
=
，
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的判定、切线的判定等知识，得出△ODC≌△OFC是解题关键．
七、解答题（共1小题，满分12）
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由； （3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；
（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；
（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．
解答： （1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F， 则∠BDE+∠FDE=90°， ∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠C=45°， ∵MN∥AC，
∴∠EBD=180°﹣∠C=135°， ∵∠BFD=45°，DF⊥BC， ∴∠BFD=45°，BD=DF， ∴∠AFD=135°， ∴∠EBD=∠AFD， 在△BDE和△FDA中
，
∴△BDE≌△FDA（ASA）， ∴AD=DE；
（2）解：DE=AD，
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G， 则∠BDE+∠GDE=90°， ∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG=90°， ∴∠BDE=∠ADG，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°， ∴∠C=60°， ∵MN∥AC，
∴∠EBD=180°﹣∠C=120°， ∵∠ABC=30°，DG⊥BC， ∴∠BGD=60°， ∴∠AGD=120°， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△BDE∽△GDA， ∴
=
，
在Rt△BDG中， =tan30°=∴DE=
，
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