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相似模型（一）（讲义）
?
课前预习
1. 请证明以下结论：
①如图 1，在△ABC 中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC． ②如图 2，在△ABC 中，∠B=∠AED，求证：△AED∽△ABC． ③如图 3，在△ABC 中，∠B=∠ACD，求证：△ACD∽△ABC． ④如图 4，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，且 AC∥BD，求证：△AOC∽△BOD． ⑤如图 5，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，∠B= ∠C，求证：△AOC∽△DOB． ⑥如图 6，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， 求证：△ADB∽△CDA，△ADB∽△CAB．
A A D D B 图 1
A
D B 图 3
B A
C E C
E B
图 2
C O C D O A B
C 图 4
A D 图 5
B D 图 6
C
.
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知识点睛
1. 六种相似基本模型：
A A A
D D E E
D
B C B C B C DE∥BC ∠B=∠AED
∠B?∠ACD A 型 D B C B A
O O A C A D
B D C AC∥BD
∠B?∠C
AD 是 Rt△ABC 斜边上的高X 型 母子型
2. 相似、角相等、比例线段间的关系：
角相等判定 比例线段 相似 性质
角相等
比例线段
列方程（或表达边） 比的传递转移
相似往往与 等信息组合搭配起来使用．多个相似之间一般会通过 来转移条件．一般碰到不熟悉的线段间关系时，常需要还原成 来观察和分析． 3. 影子上墙：
、 、 是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．
D
A
G
E F
B
C
D D D H G H
G
G
E F H E F E F △DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC
.
当两个三角形相似且有公共边时， 借助对应边成比例往往可以得到 a2=bc 形式的关系． 例如：“母子型”中 △ABD∽△CBA→AB2=BC·BD △ACD∽△BCA→ △ADB∽△CDA→
.
?
精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，
CD ， ? ． AF=8，则 AC=
BC
A A B E D F E F C B 1 题图 第
C 2 题图 第
D 2. 如图，AB∥CD，线段 BC，AD 相交于点 F，点 E 是线段 AF
上一点且满足∠BEF=∠C，其中 AF=6，DF=3，CF=2，则AE= ．
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，BD=2，
AD=8，则 CD= ，AC= ，BC= ．
A C
B A D
B F 第 3 题图 第 4 题图
4. 如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和
AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为 2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点 A 旋转，AF， AG 与边 BC 的交点分别为 D，E（点 D 不与点 B 重合，点 E 不与点 C 重合）．
①请写出图中所有的相似三角形 ；
1
②若 BD ? ，则 CE= .
2 D E C G .
.
5. 如图，M 为线段 AB 上一点，AE 与 BD 交于点 C，∠DME=
∠A=∠B=α，且 DM 交 AE 于点 F，ME 交 BD 于点 G． （1）写出图中的三对相似三角形；
（2）连接 FG，当 AM=MB 时，求证：△MFG∽△BMG．
A
M B G F C D
E
6. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为
AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F，连接 FD．若∠BFA=90°， 给出以下三对三角形：①△BEA
A E D
与△ACD；②△FED 与△DEB；
F ③△CFD 与△ABO．其中相似的有 （填写序号）．
O
B
C 7. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE⊥AB 于点 E，D 在 AB
4 5 ，则 的延长线上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2， AE ?
5 △BCD 的面积是（ ） 1 A． 3 B． 5 3
2 C． 3
2 5 D． 3 C
A E B D .
.
8. 如图，在 Rt△ABD 中，过点 D 作 CD⊥BD，垂足为 D，连接
BC 交AD 于点E，过点E 作EF⊥BD 于点F，若AB=15，CD=10，则 BF:FD= ．
A
E C
A
N M D
B C D F E
第 8 题图 第 9 题图
9. 如图，在□ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE，AC，分别
交 BD 于 M，N，则 BM:DN= ． 10. 如图，直线 l1∥l2，若 AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则
CE:AE= ．
B E G A F B E l2 l1
A G F D C D B C 第 10 题图 第 11 题图
11. 如图，在□ABCD 中，E 是 BA 延长线上一点，CE 分别与 AD，
EG AG EF BF
BD 交于点 G，F．则下列结论：① ? ；② ? ；
GC GD FC FD
FC BF
③ ? ；④ CF 2 ? GF ? EF ．其中正确的是 ． GF FD 12. 如图所示，AB∥CD，AD，BC 交于点 E，过 E 作 EF∥AB 交
EF
BD 于点 F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；② BF ? ； CD BD
1 1 1
EF EF FD BF ? 1 ；④ ? ? ．其中正确的 ③ ? ? ? AB CD BD BD AB CD EF
有 ．
A
C
E
B F
D
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