第3章单元质量检测

解：(1)因为f(x)＝cosx(3sinx＋cosx) 311

＝3sinxcosx＋cosx＝2sin2x＋2cos2x＋2 2

?π?1＝sin?2x＋?＋2，

6??

2π

所以最小正周期T＝2＝π.

?π??因为x∈R，所以－1≤sin2x＋?≤1.

6???π?131

所以－2≤sin?2x＋?＋2≤2.

6???13?

所以f(x)的值域为?－2，2?.

??

πππ

(2)由－2＋2kπ≤2x＋6≤2＋2kπ， 2ππ

得－3＋2kπ≤2x≤3＋2kπ. ππ

即－3＋kπ≤x≤6＋kπ.

?π?π

所以函数f(x)的单调递增区间为?－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)．

6?3?

3π

17．(9分)(2015·安徽卷)在△ABC中，∠A＝4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．

解：设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(32)2＋62－2×323π

×6×cos4＝18＋36－(－36)＝90，

所以a＝310.

bsin∠BAC310

又由正弦定理得sinB＝＝＝， a31010π由题设知0

在△ABD中，由正弦定理得

AB·sinB6sinB3

AD＝＝2sinBcosB＝cosB＝10.

sin（π－2B）

18．(9分)(2016·山西太原一模)已知a，b，c分别是△ABC的内π角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝3.

(1)若△ABC的面积等于3，求a，b； (2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值． π

解：(1)∵c＝2，C＝3，

π2

∴由余弦定理得4＝a＋b－2abcos3＝a＋b2－ab，

2

2

∵△ABC的面积等于3， 1

∴2absinC＝3，∴ab＝4，

22??a＋b－ab＝4，联立?解得a＝2，b＝2.

??ab＝4，

(2)∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A， ∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA， ∴sinBcosA＝2sinAcosA， π①当cosA＝0时，A＝2；

②当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，

22??a＋b－ab＝4，2343联立?解得a＝3，b＝3，

??b＝2a，

∴b2＝a2＋c2， ππ∵C＝3，∴A＝6. ππ

综上所述，A＝2或A＝6.

19．(9分)(2015·四川卷)如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．

A1－cosA(1)证明：tan2＝sinA；

A

(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan2＋BCD

tan2＋tan2＋tan2的值．

AAsin22sin22A

解：(1)tan2＝A＝AA cos22sin2cos21－cosA＝sinA.

(2)由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B. 由(1)，有

ABCDtan2＋tan2＋tan2＋tan2 ＝

1－cosAsinA

＋

1－cosBsinB

＋

1－cos（180°－A）sin（180°－A）

＋

1－cos（180°－B）22

＝sinA＋sinB.

sin（180°－B）

连接BD.

在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA， 在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC， 所以AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝BC2＋CD2＋2BC·CDcosA. AB2＋AD2－BC2－CD2则cosA＝

2（AB·AD＋BC·CD）62＋52－32－423

＝＝7. 2（6×5＋3×4）于是sinA＝1－cosA＝连接AC.同理可得

AB2＋BC2－AD2－CD262＋32－52－421cosB＝＝＝19.

2（AB·BC＋AD·CD）2（6×3＋5×4）于是sinB＝1－cosB＝22?3?2210

1－?7?＝7. ??

?1?26101－?19?＝19. ??

ABCD22

所以tan2＋tan2＋tan2＋tan2＝sinA＋sinB ＝

2×72×19410

＋＝3. 210610