2020届高三精准培优专练十一 数列求通项公式(理) 教师版

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培优点十一 数列求通项公式

一、由数列的前几项求数列的通项公式

例1：根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式； （1）4，6，8，10，（2）?；

；

1111，，?，，1?22?33?44?5； ．

（3）?1，7，?13，19；（4）5，55，555，5555，

【答案】（1）an?2(n?1)，n?N*；（2）an?(?1)?n1，n?N*；

n(n?1)n（3）an?(?1)(6n?5)，n?N*；（4）an?5n(10?1)． 9【解析】（1）各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an?2(n?1)，n?N*． （2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式an?(?1)?n1，n?N*．

n(n?1)（3）这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，

n所以它的一个通项公式为an?(?1)(6n?5)，n?N*．

（4）将原数列改写为?9，

5955?99，?999，995n(10?1)． 9易知数列9，99，999，的通项为10?1，

n故数列的一个通项公式为an?

二、由 与 的关系求数列的通项公式

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例2：（1）已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn?1)?n?1，则an? ． （2）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn?2an?1，则an? ．

?3,n?1【答案】（1）?n；（2）?2n?1．

?2,n?2n?1【解析】（1）由log2(Sn?1)?n?1，得Sn?1?2，

当n?1时，a1?S1?3；

n当n?2时，an?Sn?Sn?1?2，

所以数列{an}的通项公式为an???3,nn?1?2,n?2．

（2）∵Sn?2an?1，当n?2时，Sn?1?2an?1?1， ∴an?Sn?Sn?1?2an?2an?1，即an?2an?1． 当n?1时，a1?S1?2a1?1，得a1??1．

∴数列{an}是首项a1为?1，公比q为2的等比数列，

n?1n?1∴an??1?2??2．

三、由递推关系式求数列的通项公式

*例3：（1）设数列{an}满足a1?1，且an?1?an?n?1(n?N)，则数列{an}的通项公式为 ．

（2）在数列{an}中，a1?1，an?n?1an?1(n?2)，则数列{an}的通项公式为 ． n（3）已知数列{an}满足a1?1，an?1?3an?2，则数列{an}的通项公式为 ．

n2?n1*n?1*(n?N*)；【答案】（1）an?（2）an?(n?N)；（3）an?2?3?1(n?N)． 2n【解析】（1）累加法

由题意得a2?a1?2，a3?a2?3，

，an?an?1?n(n?2)，

2

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以上各式相加，得an?a1?2?3??n．

又∵a1?1，∴an?1?2?3??n?n2?n2(n?2)．

∵当n?1时也满足上式，∴an2?nn?2(n?N*)． （2）累乘法 ∵an?1n?nan?1(n?2)， ∴an?2n?1?1n?1a，an?3n?2n?2?n?2an?3，，a2?2a1． 以上(n?1)个式子相乘得a12n?1a1n?a1?2?3n?n?1n． 当n?1时，a1?1，上式也成立． ∴an?1n(n?N*)． （3）构造法

∵aan?1?1n?1?3an?2，∴an?1?1?3(an?1)，∴a?3，

n?1∴数列{an?1}为等比数列，公比q?3，

又a1?2，∴a?1?2?3n?1，∴a?3n?1?1(n?N*1?nn?2)．

对点增分集训

一、选择题 1．数列0，

2463，5，7，的一个通项公式为（ ）

A．an?n?1n?1(n?N*) B．an?1n?2n?1(n?N*)

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C．a2nn?2(n?1)n?1(n?N*2)

D．an?2n?1(n?N*) 【答案】C

【解析】解法一：特例淘汰法．

令n?1，淘汰D选项，令n?2，淘汰A，B选项． 解法二：数列变形为0，2413，5，67，分子、分母都是等差数列，分子2(n?1)，分母2n?1．故选C．

2．已知数列{a2n}的前n项和Sn?n?2n，则a2?a18?（ ）

A．36 B．35 C．34 D．33

【答案】C

【解析】当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?3；

当n?1时，a*1?S1??1，所以an?2n?3(n?N)，所以a2?a18?34，故选C． 3．若数列{a满足a22n}1?2，an?1?an?2an?1?an，则数列{an}的前32项和为（ ）

A．16 B．32 C．64 D．128

【答案】C

【解析】根据题意，由a22*)2n?1?an?2an?1?an(n?N)，得(an?1?an?0，即an?1?an．

由a1?2，得an?2，则数列{an}前32项和S32?2?32?64，故选C． 4．设S3n为数列{an}的前n项和，且Sn?2(an?1)(n?N*)，则an?（ ） A．3(3n?2n) B．3n?2

C．3n

D．3?2n?1

【答案】C

【解析】当n?1时，a1?3； 当n?2时，a3n?Sn?Sn?1?2(a?1)?3n2(an?1?1)， 得到a3ann?n?1，所以an?3．故选C．

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