2018年中考数学总复习试题
2．(泰安中考)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE.
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(1)求证：AC＝CD2BC；
(2)过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK＝EB.
①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH； ②若∠B＝30°，求证：四边形AKEC是菱形． 解：(1)∵AC平分∠BCD， ∴∠DCA＝∠ACB. 又AD⊥AE，AC⊥AB，
∴∠DAC＋∠CAE＝90°，∠CAE＋∠EAB＝90°， ∴∠DAC＝∠EAB.
又∵E是Rt△CAB斜边的中点， ∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABC， ∴∠DAC＝∠ABC， ∴△ACD∽△BCA，
ACCD∴＝， BCAC
∴AC＝CD2BC； (2)①连接AH.
∵∠ADC＝∠BAC＝90°，
点H，D关于AC对称，则AH⊥BC. ∵EG⊥AB，AE＝BE， ∴G为AB的中点， ∴GH＝GA，
∴∠GAH＝∠GHA. ∵F是AC的中点， ∴AF＝FH，
∴∠HAF＝∠FHA，
∴∠FHG＝∠AHF＋∠AHG
＝∠FAH＋∠HAG＝∠CAB＝90°， ∴FH⊥HG；
②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC. 1
又∵∠B＝30°，∴AC＝BC＝EB＝EC.
2又∵EK＝EB，∴EK＝AC， ∴四边形AKEC是菱形.
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第二节 图形的平移变换问题
平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化．
,中考重难点突破)
【例1】(仙桃中考)如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的(AB，DE是同一条剪切线)．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．
(1)如图②，△ABC中，若AB＝BC，且∠ABC＝90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；
(2)如图③，△ABC中，若AB＝BC，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质． 【答案】解：(1)EM＝EN； (2)EM＝EN仍然成立．
理由如下：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如图③所示． 则∠EHB＝∠EGN＝90°，∴在四边形BHEG中，∠HBG＋∠HEG＝180°. ∵∠HBG＋∠DEF＝180°，∴∠HEG＝∠DEF， ∴∠HEM＝∠GEN.∵BA＝BC，点E为AC中点， ∴BE平分∠ABC.又∵EH⊥AB，EG⊥BC， ∴EH＝EG.在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM＝∠GEN，EH＝EG，∠EHM＝∠EGN， ∴△HEM≌△GEN.∴EM＝EN.
【例2】(2016汇川升学模拟)如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，
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0)两点，直线y＝－x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一
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动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式； (2)若PE＝5EF，求m的值；
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)用含m的代数式分别表示出PE，EF，然后列方程求解；(3)解题关键是识别出四边形PECE′是菱形，然后根据PE＝CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点在y轴上，即可得到点P的坐标．
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【答案】解：(1)∵抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，
?0＝－（－1）－b＋c，?b＝4，??
?∴?解得 2
???0＝－5＋5b＋c，?c＝5，
2
∴抛物线的解析式为y＝－x＋4x＋5； (2)∵点P横坐标为m，
3??2
∴P(m，－m＋4m＋5)，E?m，－m＋3?，F(m，0)．
4??
∵点P在x轴上方，要使PE＝5EF，点P应在y轴右侧，∴0 19?3?22 PE＝－m＋4m＋5－?－m＋3?＝－m＋m＋2， 4?4?3 ①当点E在点F上方时，EF＝－m＋3. 419?3?2 ∵PE＝5EF，∴－m＋m＋2＝5?－m＋3?， 4?4?132 即2m－17m＋26＝0，解得m1＝2，m2＝(舍去)； 23 ②当点E在点F下方时，EF＝m－3. 419?3?2 ∵PE＝5EF，∴－m＋m＋2＝5?m－3?， 4?4?即m－m－17＝0， 1＋691－69 解得m3＝，m4＝(舍去)， 221＋69 ∴m的值为2或； 2(3)存在． 2 2 ?111?点P的坐标为?－，?或(4，5)或(3－11，211－3)． ?24? 22 2018年中考数学总复习试题 ◆模拟题区 1．(2017遵义一中模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，0)．等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD. (1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是______ 个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是______ ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是______ ； (2)连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数． 解：(1)2；y轴；120°； (2)∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，∴OA＝OD. ∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠DOC＝60°， 即OE为等腰△AOD的顶角的平分线， ∴OE垂直平分AD，∴∠AEO＝90°. ◆中考真题区 2．(苏州中考)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F. (1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论； (2)求线段BD的长． 解：(1)AC⊥BD.理由如下： ∵△DCE由△ABC平移而成， ∴BE＝2BC＝6，DE＝AC＝3，∠E＝∠ACB＝60°， 1 ∴DE＝BE，∴BD⊥DE. 2 ∵∠E＝∠ACB＝60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC； (2)在Rt△BED中，∵BE＝6，DE＝3， ∴BD＝BE－DE＝6－3＝33. 2222 3．(东营中考)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A，C的坐标分别是(0，4)，(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′. (1)若抛物线经过点C，A，A′，求此抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大 23
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