第2章 2.2.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
x2y2
25－mm＋9A．－9＜m＜25 B．8＜m＜25 C．16＜m＜25
D．m＞8
?25－m＞0解析： 依题意有?
?m＋9＞0
25，
??m＋9＞25－m
，解得8＜m＜即实数m的取值范围是8＜m＜25，故选B. 答案： B
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( A.x2y24＋3＝1
B.x22
4＋y＝1 C.y2x2
2
4＋3
＝1 D.y2
4
＋x＝1 解析： c＝1，a＝2，∴b2
＝a2
－c2
＝3. ∴椭圆的方程为x2y2
4＋3＝1.
答案： A
3．已知(0，－4)是椭圆3kx2
＋ky2
＝1的一个焦点，则实数k的值是( ) A．6 B.16 C．24
D.124
解析： ∵3kx2
＋ky2
＝1， ∴
x2y2
1＋1＝1. 3kk又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，
∴a2＝121221121k，b＝3k，c＝a－b2
＝k－3k＝3k＝16，∴k＝24. 答案： D
- 1 -
) →→
4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1·PF2＝0，则△F1PF2的面
259积为( )
A．12 C．9
→→
解析： ∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2. ∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|且|PF1|＋|PF2|＝2a. 又a＝5，b＝3，∴c＝4，
??|PF1|＋|PF2|＝64 ①∴???|PF1|＋|PF2|＝10 ②
2
2
2
2
2
x2y2
B．10 D．8
②－①，得2|PF1|·|PF2|＝10－64， ∴|PF1|·|PF2|＝18， ∴△F1PF2的面积为9. 答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠
92
22
x2y2
F1PF2的大小为________．
解析： 由椭圆标准方程得a＝3，b＝2， 则c＝a－b＝7，|F1F2|＝2c＝27. 由椭圆的定义得|PF2|＝2a－|PF1|＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理得 |PF1|＋|PF2|－|F1F2|
cos∠F1PF2＝
2|PF1|·|PF2|4＋2－27＝
2×4×2
2
2
22
2
2
2
2
1＝－，
2
所以∠F1PF2＝120°. 答案： 2 120°
→→
6．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP43的最大值为________．
解析： 椭圆的左焦点F为(－1,0)，设P(x，y)， 则＋＝1， 43
→→
OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2
- 2 -
x2y2
x2y2
12
＝x＋x＋3 412
＝(x＋2)＋2 4
→→
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，OP·FP有最大值6. 答案： 6
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解析： (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
x2y2
所以可设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab∵椭圆经过点(2,0)和(0,1) 0＋＝1??ab∴?01??a＋b＝1
2
2
222
2
??a＝4
，∴?2
?b＝1?
2
，
故所求椭圆的标准方程为＋y＝1. 4
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为
x2
2
y2x2
＋＝1(a>b>0)， a2b2
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10. 又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b＝a－c＝36. ∴所求椭圆的标准方程是
2
2
2
2
2
＋＝1. 10036
y2x2
8．已知圆x＋y＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并→→
且PM＝2MP′，求点M的轨迹．
解析： 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y. 因为P(x0，y0)在圆x＋y＝9上， 所以x0＋y0＝9.
将x0＝x，y0＝3y代入，得x＋9y＝9，
2
2
2
2
2
2
- 3 -
即＋y＝1. 9
所以点M的轨迹是一个椭圆． 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥
x2
2
F2A，求椭圆的标准方程．
x2y2
解析： 设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)． →→
∵F1A⊥F2A，∴F1A·F2A＝0，
→→
而F1A＝(－4＋c,3)，F2A＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c)·(－4－c)＋3＝0， ∴c＝25，即c＝5. ∴F1(－5,0)，F2(5,0)． ∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝∴a＝210，
∴b＝a－c＝(210)－5＝15. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
4015
2
2
2
2
2
2
2
－4＋5
2
＋3＋
2
－4－5
2
＋3＝10＋90＝410.
2
x2y2
- 4 -
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