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2012年高考数学全国各地高考真题专题分类汇编——平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算
4.H1、F1[2012·上海卷] 若d=(2,1)是直线l的一个方向向量,则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示).
1
4.arctan [解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系,关键是求
2
出直线的斜率.
11
由已知可得直线的斜率k=,k=tanα,所以直线的倾斜角α=arctan. 2220.H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C1:+y=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,
4
且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
→→
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=2OA,求直线AB的方程.
x2
2
y2x2
20.解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为2+=1(a>2),
a4
3a2-43
其离心率为,故=,则a=4,
2a2
y2x2
故椭圆C2的方程为+=1.
164
(2)解法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), →→
由OB=2OA及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上, 因此可设直线AB的方程为y=kx.
x224222
将y=kx代入+y=1中,得(1+4k)x=4,所以xA=2,
41+4ky2x216222
将y=kx代入+=1中,得(4+k)x=16,所以xB=2,
1644+k1616→→22
又由OB=2OA得xB=4xA,即2=2,
4+k1+4k解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.
解法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), →→
由OB=2OA及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上, 因此可设直线AB的方程为y=kx.
x224222
将y=kx代入+y=1中,得(1+4k)x=4,所以xA=2,
41+4k2
1616k→→22
由OB=2OA得xB=2,yB=2,
1+4k1+4k2
y2x24+k22
将xB,yB代入+=1中,得2=1,
1641+4k22
即4+k=1+4k,解得k=±1, 故直线AB的方程为y=x或y=-x.
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
13.F2、F3[2012·湖北卷] 已知向量a=(1,0),b=(1,1),则 (1)与2a+b同向的单位向量的坐标表示为________; (2)向量b-3a与向量a夹角的余弦值为________.
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13.[答案] (1)?
2510??310
,? (2)-5 10??10
[解析] (1)由题意,2a+b=(3,1),所以与2a+b同向的单位向量的坐标为?即?
10??310
,?. 10??10
?3,1?
?,10??10
(2)因为a=(1,0),b=(1,1),所以b-3a=(-2,1).设向量b-3a与向量a的夹角为
b-3aa-2,,25
θ,则cosθ===-.
|b-3a||a|55×1→→→
3.F2[2012·广东卷] 若向量AB=(1,2),BC=(3,4),则AC=( ) A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2)
→→→
3.A [解析] 因为AC=AB+BC=(1,2)+(3,4)=(4,6).所以选择A.
→→
9.F2[2012·全国卷] △ABC中,AB边的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,
→
|b|=2,则AD=( )
1122A.a-b B.a-b 33333344C.a-b D.a-b 5555
9.D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理,解题的突破口为设法用a和b作
→
为基底去表示向量AD.
25
易知a⊥b,|AB|=5,用等面积法求得|CD|=,
545→4→422
∵AD=AC-CD=,AB=5,∴AD=AB=(a-b),故选D.
555
7.F2、C6[2012·陕西卷] 设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于( )
21
A. B. C.0 D.-1 22
2
7.C [解析] 由向量垂直的充要条件可知,要使两向量垂直,则有-1+2cosθ=0,
2
则cos2θ=2cosθ-1=0.故选C.
6.F2、F3[2012·重庆卷] 设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=( )
A.5 B.10 C.25 D.10
6.B [解析] 因为a⊥b,所以a·b=0,即x·1+1·(-2)=0,解得x=2,所以a22
+b=(3,-1),|a+b|=3+-=10,选B.
F3 平面向量的数量积及应用
12.F3[2012·上海卷] 在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边
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→→|BM||CN|→→
BC、CD上的点,且满足=,则AM·AN的取值范围是________.
→→|BC||CD|→→→→→→
12.[1,4] [解析] 令BM=nBC(0≤n≤1),则DN=(1-n)DC,在矩形ABCD中,AM=AB+→nAD,
→→→→→→→→→AN=AD+(1-n)AB,所以AM·AN=(AB+nAD)·[AD+(1-n)AB]
→2→2
=(1-n)AB+nAD=4-3n,
而函数f(n)=4-3n在[0,1]上是单调递减的,其值域为[1,4],
→→
所以AM·AN的取值范围是[1,4].
1.F3[2012·辽宁卷] 已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=( )
1
A.-1 B.- 2
1
C. D.1 2
1.D [解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算.解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式.
因为a·b=(1,-1)·(2,x)=1×2-1·x=1?x=1,所以答案选D.
15.F3[2012·课标全国卷] 已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=________.
15.[答案] 32
2222
[解析] 因为|2a-b|=10,平方得4a-4a·b+b=10,得4-4×|b|×+|b|=
210,解得|b|=32.
12.F3[2012·江西卷] 设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|=________.
12.5 [解析] 设c=(1,2) ,则c⊥b,∴c∥m.∵| m |=1,∴|m·c|=|c|=5.
21.H5、H8、F3[2012·重庆卷] 如图,设椭圆的中点为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
x2y2
21.解:(1)设所求椭圆的标准方程为2+2=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).
ab因△AB1B2是直角三角形且|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,从而|OA|=|OB2|,
c22222222
即b=.结合c=a-b得4b=a-b,故a=5b,
2
c2
c2=4b2,所以离心率e==5.
a5
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故
1cS△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2, 22
222
由题设条件S△AB1B2=4得b=4,从而a=5b=20.
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因此所求椭圆的标准方程为:+=1.
204
(2)由(1)知B1(-2,0)、B2(2,0).由题意,直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为:x=my-2.代入椭圆方程得
22
(m+5)y-4my-16=0.(*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此
4m-16
y1+y2=2,y1·y2=2. m+5m+5→→
又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2),所以 →→
B2P·B2Q=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2
2
=(m+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
2
-m2+16m=-2+16
m2+5m+52
16m-64=-2,
m+5
→→2
由PB2⊥QB2,知B2P·B2Q=0,即16m-64=0,解得m=±2.
2
当m=2时,方程(*)化为:9y-8y-16=0,
4+4104-4108故y1=,y2=,|y1-y2|=10,
999
116
△PB2Q的面积S=|B1B2|·|y1-y2|=10.
29
16
当m=-2时,同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积S=10.
9
16
综上所述,△PB2Q的面积为10.
9
9.F3[2012·江苏卷] 如图1-3,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中
→→→→
点,点F在边CD上,若AB·AF=2,则AE·BF的值是________.
x2y2
图1-3
9.2 [解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解,解题突破口为合理建立平面直角坐标系,确定点F的位置.
→
以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则AB=(2,0). →
设AF=(x,2),则由条件得2x=2,得x=1,
→→
从而F(1,2),AE=(2,1),BF=(1-2,2),
→→
于是AE·BF=2.
15.F3[2012·湖南卷] 如图1-5,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP
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