学习必备 欢迎下载
2012年高考数学全国各地高考真题专题分类汇编——平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算
4．H1、F1[2012·上海卷] 若d＝(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．
1
4．arctan [解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求
2
出直线的斜率．
11
由已知可得直线的斜率k＝，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan. 2220．H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，
4
且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
→→
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．
x2
2
y2x2
20．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1(a＞2)，
a4
3a2－43
其离心率为，故＝，则a＝4，
2a2
y2x2
故椭圆C2的方程为＋＝1.
164
(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， →→
由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y＝kx.
x224222
将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k)x＝4，所以xA＝2，
41＋4ky2x216222
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k)x＝16，所以xB＝2，
1644＋k1616→→22
又由OB＝2OA得xB＝4xA，即2＝2，
4＋k1＋4k解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， →→
由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y＝kx.
x224222
将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k)x＝4，所以xA＝2，
41＋4k2
1616k→→22
由OB＝2OA得xB＝2，yB＝2，
1＋4k1＋4k2
y2x24＋k22
将xB，yB代入＋＝1中，得2＝1，
1641＋4k22
即4＋k＝1＋4k，解得k＝±1， 故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
13．F2、F3[2012·湖北卷] 已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则 (1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
学习必备 欢迎下载
13．[答案] (1)?
2510??310
，? (2)－5 10??10
[解析] (1)由题意，2a＋b＝(3,1)，所以与2a＋b同向的单位向量的坐标为?即?
10??310
，?. 10??10
?3，1?
?，10??10
(2)因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以b－3a＝(－2,1)．设向量b－3a与向量a的夹角为
b－3aa－2，，25
θ，则cosθ＝＝＝－.
|b－3a||a|55×1→→→
3．F2[2012·广东卷] 若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝( ) A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
→→→
3．A [解析] 因为AC＝AB＋BC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．所以选择A.
→→
9．F2[2012·全国卷] △ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，
→
|b|＝2，则AD＝( )
1122A.a－b B.a－b 33333344C.a－b D.a－b 5555
9．D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作
→
为基底去表示向量AD.
25
易知a⊥b，|AB|＝5，用等面积法求得|CD|＝，
545→4→422
∵AD＝AC－CD＝，AB＝5，∴AD＝AB＝(a－b)，故选D.
555
7．F2、C6[2012·陕西卷] 设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )
21
A. B. C．0 D．－1 22
2
7．C [解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cosθ＝0，
2
则cos2θ＝2cosθ－1＝0.故选C.
6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A.5 B.10 C．25 D．10
6．B [解析] 因为a⊥b，所以a·b＝0，即x·1＋1·(－2)＝0，解得x＝2，所以a22
＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝3＋－＝10，选B.
F3 平面向量的数量积及应用
12．F3[2012·上海卷] 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边
学习必备 欢迎下载
→→|BM||CN|→→
BC、CD上的点，且满足＝，则AM·AN的取值范围是________．
→→|BC||CD|→→→→→→
12．[1,4] [解析] 令BM＝nBC(0≤n≤1)，则DN＝(1－n)DC，在矩形ABCD中，AM＝AB＋→nAD，
→→→→→→→→→AN＝AD＋(1－n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]
→2→2
＝(1－n)AB＋nAD＝4－3n，
而函数f(n)＝4－3n在[0,1]上是单调递减的，其值域为[1,4]，
→→
所以AM·AN的取值范围是[1,4]．
1．F3[2012·辽宁卷] 已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
1
A．－1 B．－ 2
1
C. D．1 2
1．D [解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算．解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式．
因为a·b＝(1，－1)·(2，x)＝1×2－1·x＝1?x＝1，所以答案选D.
15．F3[2012·课标全国卷] 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
15．[答案] 32
2222
[解析] 因为|2a－b|＝10，平方得4a－4a·b＋b＝10，得4－4×|b|×＋|b|＝
210，解得|b|＝32.
12．F3[2012·江西卷] 设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.
12.5 [解析] 设c＝(1,2) ，则c⊥b，∴c∥m.∵| m |＝1，∴|m·c|＝|c|＝5.
21．H5、H8、F3[2012·重庆卷] 如图，设椭圆的中点为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．
x2y2
21．解：(1)设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．
ab因△AB1B2是直角三角形且|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，从而|OA|＝|OB2|，
c22222222
即b＝.结合c＝a－b得4b＝a－b，故a＝5b，
2
c2
c2＝4b2，所以离心率e＝＝5.
a5
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故
1cS△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2， 22
222
由题设条件S△AB1B2＝4得b＝4，从而a＝5b＝20.
学习必备 欢迎下载
因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
204
(2)由(1)知B1(－2,0)、B2(2,0)．由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为：x＝my－2.代入椭圆方程得
22
(m＋5)y－4my－16＝0.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此
4m－16
y1＋y2＝2，y1·y2＝2. m＋5m＋5→→
又B2P＝(x1－2，y1)，B2Q＝(x2－2，y2)，所以 →→
B2P·B2Q＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
2
＝(m＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
2
－m2＋16m＝－2＋16
m2＋5m＋52
16m－64＝－2，
m＋5
→→2
由PB2⊥QB2，知B2P·B2Q＝0，即16m－64＝0，解得m＝±2.
2
当m＝2时，方程(*)化为：9y－8y－16＝0，
4＋4104－4108故y1＝，y2＝，|y1－y2|＝10，
999
116
△PB2Q的面积S＝|B1B2|·|y1－y2|＝10.
29
16
当m＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积S＝10.
9
16
综上所述，△PB2Q的面积为10.
9
9．F3[2012·江苏卷] 如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中
→→→→
点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．
x2y2
图1－3
9.2 [解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置．
→
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则AB＝(2，0)． →
设AF＝(x,2)，则由条件得2x＝2，得x＝1，
→→
从而F(1,2)，AE＝(2，1)，BF＝(1－2，2)，
→→
于是AE·BF＝2.
15．F3[2012·湖南卷] 如图1－5，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP
相关推荐：
loading