例9. 设
（i＝1，2，……，2003）为正实数，且
的最小值。
解：构造向量
由性质3，得
，试求
即
例10. 已知解：构造向量
，求
的最小值。
从而
由性质3，得
所以向量构造法
向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。
构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知道实现构造的理论基础： （1）||（2）|
a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|. a·b|?|a|·|b|。
一. 证明不等式
????b|?|a|·|b|，以达证明不等式之目的。 通过构造向量，利用向量的重要不等式：|a|?|b|?|a?b|，或|a· 例1. 设a、b、c、d均为正数，求证
a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2
?????? 证明：构造向量m?(a，b)，n?(c，d)，由|m|?|n|?|m?n|得
a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2
例2. 若a?b?c?1，求证：a2?b2?c2?1 3??? 证明：构造向量m?(a，b，c)，n?(b，c，a)，p?(c，a，b) ??? 则m?n?p?(a?b?c，b?c?a，c?a?b)?(1，1，1) ?????? 于是由|m|?|n|?|p|?|m?n?p|
有3 得a2a2?b2?c2?3
?b2?c2?1 3 将例1推广到更一般的形式，即有
例3. 若a1，a2，a3，?，an和b1，b2，?，bn都是正数，则
a1?a2???an?b1?b2???bn?(a1?b1)2?(a2?b2)2???(an?bn)2222222
??m?(a，a，?，a) 证明：构造向量12n，n?(b1，b2，?，bn) ???? 于是，由|m|?|n|?|m?n|得
a1?a2???an?b1?b2???bn?(a1?b1)2?(a2?b2)2???(an?bn)2222222
从上述证明，发现条件a1，a2，?，an和b1，b2，?，bn是正数是多余的。
???? 而且利用|m|?|n|?|m?n|还可以推出
a1?a2???an?b1?b2???bn?(a1?b1)2?(a2?b2)2???(an?bn)2222222
例4. 设任意实数x，y满足|x|?1，|y|?1， 求证：
112??
1?x21?y21?xy? 证明：构造向量a?(11?x2，11?y2?)，b?(1?x2，1?y2)
??2?2?2 由向量数量积性质(a?b)?|a||b|得
4?(11?)(1?x2?1?y2) 221?x1?y 所以
11442???? 22221?x1?y2?(x?y)2?2xy1?xy
即
112 ??221?xy1?x1?y4 例5. 设a，b为不等的正数，求证(a?b4)(a2?b2)?(a3?b3)2
??22 证明：构造向量m?(a，b)，n?(a，b)，则 ??2 (a?b)?(m?n)
332?2?2?|m||n|cos2?
?2?2?|m||n| ?(a4?b4)(a2?b2)
?? 因为a，b为不相等的正数，所以m??n，即??0，?
所以(a4?b4)(a2?b2)?(a3?b3)2
例6.已知x>0,y>0，且x+y=1，求证：(1?11)(1?)?9。 xy)，则a?b?1???证明：构造向量a??(1,1x),b?(1,?1y1xy，而
|a|?|b|?1?由|??1111?1??(1?)(1?)， xyxya·b|?|a|·|b|，得|a·b|2?|a|2·|b|2
所以(1?111222)(1?)?(1?)?(1?)?9 xyx?yxy2例7.求证：(ac?bd)证明：设OA???(a2?b2)(c2?d2)
??(a,b),OB?(c,d)
?（1）当OA,OB至少有一个为零时，所证不等式0???0成立；
（2）当OA,OB都不是零向量时，设其夹角是?，则有
cos??因为|cos?
OA?OB|OA|?|OB|?????ac?bda?b?c?d2222，
|?1，即(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)
点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！ 二.研究等量关系
sin4xcos4x1例8.已知：??(a?0,b?0)。
aba?bsin2nxcos2nx1??证明：对于任何正整数n都有
an?1bn?1(a?b)n?1分析：借助向量不等式|
a·b|?|a|·|b|等号成立的条件，构造向量，可化难为易。
sin2xcos2x证明：构造向量p?(,),q?(a,b)，则p?q?sin2x?cos2x?1
ab|p|?|q|?sin4xcos4x??a?b?1，所以p?q?|p|?|q|，故p,q同向，则p??q ab即
sin2xa??a,cos2xbsin2xcos2x??b，所以???代入题设得：
ab?(sin2x?cos2x)?11， ???a?ba?b
sin2nxcos2nxsin2xn?1cos2xn?1122n?1??sinx()?cosx()???于是
aban?1bn?1(a?b)n?1sin2nxcos2nx1??所以
an?1bn?1(a?b)n?1例9.已知cos?
?cos??cos(???)?3，求锐角?,?2。
分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出?,?的值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。 解：由已知得(1?cos?)cos?构造向量a????sin?sin???3?cos?2，
?(1?cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，
??3则a?b?(1?cos?)cos??sin?sin???cos?，?|a|?|b|?2?2cos?
231b|2?|a|2·|b|2，得(?cos?)2?2?2cos?，即(cos??)2?0 由|a·221????cos?????，则sin(??)?1???
2363三.求值域或最值 例10.求函数
y?x?3?10?9x2的最大值。
分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质|
a·b|?|a|·|b|
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