2018届广东省广州市高考数学复习 专项检测试题：24 不等式恒成立问题的处理方法

不等式恒成立问题的处理方法 1、转换为求函数的最值

a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值； a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值。

44f(x)?axlnx?bx?c(x?0)在x?1处取得极值?3?c，其中例1、已知函数

a,b为常数。

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

2f(x)??2cx?0（3）若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围。

解：（1）（2）略（3）由（2）知，f(x)在x?1处取得极小值f(1)??3?c，

2f(x)??2c(x?0)恒成立，只需?3?c??2c2，即此极小值也是最小值。要使

2c2?c?3?0，

从而(2c?3)(c?1)?0，解得

3(??,?1]?[,??)。

2c?32或c??1，?c的取值范围为

x2?2x?af?x??,x例2、已知对任意x??1,???,f?x??0恒成立，试求实数a的

取值范围。

2???x?x?2x?a?0对任意x??1,???恒成立，又等价于x?1时，??x?的解：等价于

最小值?0成立。

由于??x???x?1??a?1在?1,???上为增函数，则?min?x????1??a?3，所以

2a?3?0,a??3。

??????0,?例3、函数f?x?在R上既是奇函数又是减函数，且当?2?时，有

fcos2??2msin??f??2m?2??0恒成立，求实数m的取值范围。

2fcos??2msin??f??2m?2??0得到：解：由

????fcos2??2msin???f??2m?2?因为f?x?为奇函数，故有fcos2??2msin??f?2m?2?恒成立，

2又因为f?x?为R减函数，从而有cos??2msin??2m?2对

??????????0,??2?恒成立；

22设sin??t，则t?2mt?2m?1?0对于t??0,1?恒成立，函数g?t??t?2mt?2m?1，对

称轴为t?m。

①当t?m?0时，g?0??2m?1?0，即

m??11??m?02，又m?0∴2

22②当t?m??0,1?，即0?m?1时，??4m?4m?2m?1??0，即m?2m?1?0，

∴1?2?m?1?2，又m??0,1?，∴0?m?1

③当t?m?1时，g?1??1?2m?2m?1?2?0恒成立。∴m?1

m??12。

故由①②③可知：2、主参换位

例4、若不等式ax?1?0对例5、若对于任意取值范围。

解：x?(??,1)?(3,??)

f(x)?x??1,2?恒成立，求实数a的取值范围。

a?12

a?12x，不等式?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求实数x的

例6、已知函数

a332x?x?(a?1)x?132，其中a为实数。若不等式

??)都成立，求实数x的取值范围。 f?(x)＞x2?x?a?1对任意a?(0，22a?(0，??)ax?3x?(a?1)?x?x?a?1都成立，解：由题设知，对任意，不等式 22??)都成立。 a(x?2)?x?2x?0，?a?(0，即