第三编 平面向量
1．平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景．
(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． (3)理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义． 3．平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义． (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． (4)理解用坐标表示平面向量共线的条件． 4．平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义． (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
(4)能运用数量积求两个向量的夹角的余弦值，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
知识能力解读
知能解读 (一)基本概念
(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)向量的大小：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作AB． (3)向量的两个要素：大小和方向．
(4)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0．
(5)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
(6)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(也叫做共线向量)，记作aPb．规定零向量与任一向量平行．
(7)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 用有向线段表示的向量a与b相等，记作a?b．
说明：(1)零向量与零向量相等．(2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
(8)相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫做相反向量．向量a与向量b相反，记作a??b．
2．向量的表示法
(1)几何表示法：用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB． (2)字母表示法：用一个小写字母表示，如a，b，c．
注：印刷用黑体a，书写用a．
(3)坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作基底，则对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a?xi?yj，就把?x,y?叫做向量
a的(直角)坐标，记作a??x,y?．
说明：(1)x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(2)i??1,0?，j??0,1?，
0??0,0?．
(二)向量的运算
1．向量的加法 (1)运算法则
①向量法：三角形法则、平行四边形法则(如图)．
a+bbaaba+b
三角形法则 平行四边形法则
说明：三角形法则适用于向量首尾相接的情况，平行四边形法则适用于向量共起点的情况．
②坐标法：若a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． (2)运算律
①交换律：a?b?b?a．
②结合律：?a?b??c?a??b?c?．
(3)重要结论
①多边形法则：围成一周的首尾顺次相接的向量的和为0，如图，
AB?BC?CD?DE?EA?0．
DECAB②a?0?0?a?a．
③在?ABC中，BC的中点为D，则AD?2．向量的减法 (1)运算法则
①向量法：三角形法则，如图所示．
aba-b
1AB?AC． 2??三角形法则
②坐标法：若a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．区别于“若． A?x1,y1?，B?x2,y2?，则AB??x1?x1,y2?y1?”
(2)重要结论
①???a??a，a???a????a??a?0． ②a?a?a???b?．
3．实数与向量的积(向量数乘)
(1)定义:一般地，实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度与方向规定如下： ①
?a??a．
②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0．
(2)坐标表示：若a??x,y?，?为实数，则?a???x,?y?． (3)运算律：设?，?为实数，a，b为向量． ①结合律：???a??????a； ②第一分配律：?????a??a??a； ③第二分配律：??a?b???a??b． 4．平面向量的数量积 (1)定义
①夹角：已知两个非零向量a和b，作OA?a，OB?b，则(如图)． ?AOB????0????180??叫做向量a和b的夹角．．
BbθOaA显然，当??0?时，a与b同向；
当??180?时，a与b反向；
当??90?时，我们说a与b垂直，记为a?b．
②数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为?，则abcos?叫做a和b的数．量积(或内积)，记作a?b，即a?b?abcos?． ．．
③投影：acos?bcos?叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影． (2)坐标表示
设a??x1,y1?，b=?x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2． (3)运算律
①交换律：a?b?b?a；
②结合律：??a??b?a???b????a?b?； ③分配律：?a?b??c?a?c?b?c．
点拨：两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与两个数的乘法是不同的． (1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与其夹角余弦值的乘积．
(2)当a?0时，由a?b?0不能推出b?0，这是因为对任意与a垂直的非零向量b都有a?b?0．
(3)已知非零实数a，b，c，则ab?bc?a?c，但对于向量该推理就是不正确的，即a?b?a?c?a?c．如图，由于a，c在b上的投影相等，所以a?b?b?c，但a?c．
??aβαbcb，(4)对于实数a，有?abc?ab?cc，
定共线，所以?a?a??a?a??b?c?．
?
b，但对于向量a，因c，?，?a?b??c?a??b?c?．
为?a?b??c表示一个与c共线的向量，而a??b?c?表示一个与a共线的向量，且c与a不一
(4)重要性质
b都是非零向量，?是a与e的夹角，设a，a??x1,y1?，e是与b方向相同的单位向量，
b??x2,y2?，则
①e?a?a?e?acos?．
②a?b?a?b?ab；当a与b反向时，a?b??ab． ③当a与b同向时，a?b?ab；当a与b反向时，a?b??ab． 特别地，a?a?a或a?aa?④cos??2x12?y12．
22a?b?abx1x2?y1y2x?y2121x?y22．
⑤a?b?ab． (三)定理与公式
1．向量共线(平行)定理
向量a?a?0?与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．
说明：定理中限定了a?0，因为如果a?0，则?a?0，当b?0时，?有无数个值；当b?0时，?不存在．
2．平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a??1e1??2e2．
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 说明：由于e1，e2为不共线向量，所以e1?0，e2?0． 3．两个向量平行的充要条件
设a??x1,y1?，b??x2,y2?，?为实数． (1)向量式：aPb?b?0??a??b． (2)坐标式：aPb?b?0??x1y2?x2y1?0． 4．两个向量垂直的充要条件
设a，b为两个非零向量，且a??x1,y1?，b??x2,y2?，则 (1)向量式：a?b?a?b?0．
(2)坐标式：a?b?x1x2?y1y2?0． 5．两点间的距离公式
PP12??x1?x2???y1?y2?22，其中P1?x1,y1?，P2?x2,y2?． 解题方法荟萃
Ⅰ．数学思想方法
思想方法 (一)数形结合思想 (二)转化思想
(三)函数与方程思想 (四)待定系数法 (五)向量法
Ⅱ．解题规律技巧
规律技巧 向量法解三点共线问题 Ⅲ．易混易错辨析
易混易错 认为“a,b为锐角?cos?a,b??0”及“a,b为钝角?cosa,b?0”致
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