高中物理解题方法专题指导
方法专题六：递推法解题 编辑 朱爱玲 主编 杨国兴
一．方法简介
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问题的一种方法，即当问题中涉及相互联系的物体或过程较多，相互作用或过程具有一定的重复性并且有规律时，应根据题目特点应用归纳的数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。 二．典例分析
例1．小球从高h0?180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小
取10m/s2）
例2．如图所示，质量M＝10kg、上表面光滑的足够长的木板的在F＝50N的水平拉力作用下，以初速度v0=5m/s沿水平地面向右匀速运动．现有足够多的小铁块，它们的质量均为m=1kg，将一铁块无初速地放在木板的最右端，当木板运动了L＝1m时，又无初速地在木板的最右端放上第2块铁块，只要木板运动了L就在木板的最右端无初速放一铁块．试问．（取g＝10m/s2） (1）第1块铁块放上后，木板运动了L时，木板的速度多大？ (2）最终木板上放有多少块铁块？ (3）最后一块铁块与木板右端距离多远？
例3．如图所示，在足够大的光滑绝缘水平面上有两个质量均为m、相距为L的小球A和B均处于静止，小球A带+q的电量，小球B不带电。若沿水平向右的方向加一大小为E的匀强电场，A球将受力而运动，并与B球发生完全弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后两球速度交换，若碰撞过程中无电荷转移，求：
（1）A与B第一次碰后瞬时B球的速率？
（2）从A开始运动到两球第二次相碰经历多长时间？
（3）两球从第n次碰撞到第n+1次碰撞时间内A球所通过的路程？
例4．如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E. 一质量为m，电量为－q的粒子从坐标原点O
沿着y轴方向射出. 射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L. 求此粒子射出时的速度v和每次到达x轴时运动的总路程s.（重力不计）
例5．10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图6—9所示，每个木块的质量m?0.40kg,长度l?0.45m，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为?2?0.10.原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端上方放一个质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为?1?0.20.现突然给铅块一向右的初速度v0?4.3m/s，使其在大木块上滑行. 试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）. 重力加速度g取10(m/s)，设铅块的长度与木块相比可以忽略.
例6．如图所示，A为位于一定高度处的质量为m、带电荷量为+q的小球，B为位于水平地面上的质量为M的用特殊材料制成的
21(n?2)，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（gn第 1 页 共 10 页 原题给详解 变题要延展 赛题求境界
2mg，盒外没有电场．盒子的上表面开有一系q列略大于小球的小孔，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触．当小球A以1m/s的速度从孔1进入盒子的瞬间，盒子B恰以v1=6 m/s的速度向右滑行．已知盒子通过电场对小球施加的作用力与小球通过电场对盒子施加的作用力大小相等方向相反．设盒子足够长，取重力加速度g=10m/s2，小球恰能顺次从各个小孔进出盒子．试求：
(1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间； (2）盒子上至少要开多少个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；
(3)从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程．
三．强化训练
（ ）1．一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F，历时1秒钟，随即把此力改为向西，大小不变，历时1秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时1秒钟，如此反复，只改变力的方向，共历时1分钟. 在此1分钟内 A．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东 B．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置 C．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末继续向东运动 D．物体一直向东运动，从不向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东
2．如图所示，一固定的斜面，倾角??45?，斜面长L=2.00米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞（无动能损失）. 已知质点与斜面间的动摩擦因数??0.20，试求此质点
长方形空心盒子，且M=2m，盒子与地面间的动摩擦因数?=0.2，盒内存在着竖直向上的匀强电场，场强大小E=
从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.
3．有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图所示，人至少做多少功？
4．如图所示，R1=R3=R5=…=R99=5Ω，R2=R4=R6=…=R98=10Ω，R100=5Ω，?=10V。求： （1）RAB=？
（2）电阻R2消耗的电功率应等于多少？
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（3）Ri(i?1,2,3,?,99)消耗的电功率；
（4）电路上的总功率.
5．如图所示，有两本完全相同的书A、B，书重均为5N，若将两本书等分成若干份后， 交叉地叠放在一起，置于光滑的桌面上，并将书A通过一轻质弹簧秤与墙壁相连，用水平 向右的力F把书B抽出。现测得一组数据如下表： 1 2 3 4 n 实验次数 … 2 4 8 16 将书分成的份数 … 逐页交叉 10.5 22.5 46.5 190.5 弹簧秤的示数（N） 4.5 … 根据以上数据，试求： （1）若将书分成32份，弹簧秤的示数为多大？ （2）该书由多少张与首页大小相同的纸组成？
（3）如果两本书任意两张纸之间的动摩擦因数μ都相等，则μ为
?3多大？
6. 有一带负电的小球，其带电量q= -2?10C。如图所示，开始时静止在场强E=200N/C的匀强电场中的P点，靠近电场极板B有一挡板要S，小球与挡板S的距离h=5cm，与A板距离H=45cm，重力作用不计。在电场力作用下小球向左运动，与挡板S相碰后电量减少到碰前的k倍，已知k=
5，而碰后小球的速度大小不变。 6- A
（1）设匀强电场中挡板S所在位置的电势为零，则电场中P点的电势为多少？小球在P点时的电势能为多少？（电势能用E来表示） （2）小球从P点出发第一次回到最右端的过程中电场力对小球做了多少功？
+ （3）小球经过多少次碰撞后，才能抵达A板？（取lg1.2?0.08) S B
P
例题解析： h 例1．解析 小球从h0高处落地时，速率v0?第一次跳起时和又落地时的速率v1?v0/2 第二次跳起时和又落地时的速率v2?v0/22
…第m次跳起时和又落地时的速率vm?v0/2m
2hv12h0v2每次跳起的高度依次h1?， ?2,h2??042gn2gn2gh0?60m/s
H
…通过的总路程?s?h0?2h1?2h2???2hm??
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?h2h00?2(1?12?14???12m?)?? nnnn22 ?h2h0n?1?hn?150?20?n2?1?3h0?300m经过的总时间为?t?t0?t1?t2???tm??
?v0?2v1???2vmggg???v0[1?2?1???2?(1)m gnn??]?v1
0n?g(n?1)?3v0g?18s例2．（1）木板最初做匀速运动，由Ｆ＝μＭg解得， 第l 块铁块放上后，木板做匀减速运动，加速度大小为a1,即有：
代人数据解得：
（2）设最终有n块铁块能静止在木板上．则木板运动的加速度大小为：
第1 块铁块放上后：2a21L?v0?v21 第2 块铁抉放上后：2a222L?v1?v2
第n块铁块放上后：2a22nL?vn?1?vn 由上可得：(1?2?3????n)?2?mgML?v220?vn
木板停下时，vn?0，得n=6.6．即最终有7 块铁块放在木板上．
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