正弦定理及余弦定理应用测试及答案

3解析 由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝38×2asinB8×sin60°

＝＝＝46. sinAsin45°2

2答案 C

4解析 利用正弦定理及比例性质，得

a＋b＋ca33

＝＝＝＝23.

sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°3

2

答案 D

5解析 设三边长分别为a，3a,2a，设最大角为A，则cosA＝

a2＋3a2－2a2·a·3a∴A＝90°.

2

＝0，

2a设最小角为B，则cosB＝∴B＝30°，∴C＝60°. 因此三角之比为1:2:3. 答案 A

＋3a2－a23

＝， 22·2a·3a2

2

9×23 2babsinA6解析 由＝，得sinB＝＝＝>1. sinBsinAa64

∴此三角形无解． 答案 A

7解析 根据正弦定理，原式可化为

?a2c2?b2R?2－2?＝(2a－b)·，

2R?4R4R?

∴a2－c2＝(2a－b)b，∴a2＋b2－c2＝2ab，

a2＋b2－c22

∴cosC＝＝，∴C＝45°.

2ab2

答案 B 8解析 由sin2C，

可得a2＋b2－ab＝c2.

asinA＝

bsinB＝

csinC＝2R，又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝

a2＋b2－c213

∴cosC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.

2ab22

1

∴S△ABC＝absinC＝3.

2答案 D

9解析 由余弦定理，得

AB2＋AC2－BC2

cosA＝，解得AC＝3.

2AB·ACsinBAC3

由正弦定理＝＝. sinCAB5答案 D

AB2＋AC2－BC252＋32－72

10解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－

2AB·AC2×5×3

12π

，∴∠BAC＝. 23答案 A

11解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，

BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos210°，

tan10°

AC∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.

答案 B

12解析 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝231

(－)222

1122

＝(6－2)，∴b－2b(6＋2)cos75°＝b－2b(6＋2)·44(6－2)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A. 答案 A

13解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定

bsinC4sin45°理，知c＝＝＝4(3－1)．

sinBsin75°

答案 4(3－1)

14解析 由B＝A＋60°，得

13

sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA.

22又由b＝2a，知sinB＝2sinA. 13

∴2sinA＝sinA＋cosA.

2233

即sinA＝cosA. 223∵cosA≠0，∴tanA＝.

3

∵0°

15解析 由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.

1

又S＝AB·BC·sinB，

2

1

∴10 3＝AB×5×sin60°，∴AB＝8.

2答案 60° 8

16解析

b＋c＝8k，??

设?c＋a＝9k，??a＋b＝10k，

可得a:b:c＝11:9:7.

∴sinA:sinB:sinC＝11:9:7. 答案 11:9:7

a2acosB17解 依据正弦定理，得2＝·，所以acosA＝bcosB.再由正

bbcosA弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因为2A,2B∈π

(0,2π)，故2A＝2B，或2A＋2B＝π.从而A＝B，或A＋B＝，即△2

ABC为等腰三角形，或直角三角形．

18解 (1)由2sin(A＋B)－3＝0，

3

得sin(A＋B)＝. 2∵△ABC为锐角三角形， ∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.

(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根， ∴a＋b＝23，ab＝2. ∴c2＝a2＋b2－2abcosC