21?21lim(1?)2?lim[(1?)2]2?e2 例17 求 lim(1?)x?x??x??x??xxx22x2xxxx1x1x(2)?lim(例18 求 lim?)?lim()?lim() x??x?1x??x?1x?1x??x?1x??x?1xxxx?11lim(1?)xx??xx??111???1??1. 11lim[(1?)?x]?1eex??x1例19 求 lim(1?cosx)3secx. （\1?\型） ?2解 令 cosx??，则lim(1?cosx)3secx ?x?2311?lim(1??)??lim[(1??)?]3??0??0?[lim(1??)?]3?e3.
??0(1?2x)例20 求 limx?01?1x?lim(1?2x)2x?01?2?12x?lim[(1?2x)]?(1?2x)
2x?012x2[(1?2x)]?lim(1?2x)?e2?1?e2 ?2limx?02x?03x12x2(1?sinx). 例21 求 limx?0?lim[1?(?sinx)]?sinx?01sinx??(?3)?sinxx?{[lim(1?(?sinx))?sinx?01sinxlim?sinxx?0x]}?3?(e1)?3?e?3例22 求极限 lim(1?)cx?b,（b,c,k为常数）
x??1cx?b?lim1?1?????????????????????????(1). 解 当 k?0，原式?limx??x??kx当k?0，令 ?,x?ky，当x??时，y??.
(1?)cky?b?lim[(1?)y]ck?(1?)b 因此,原式?limy??y??1y1y1ykx1y11?[lim(1?)y]ck?lim(1?)b?eck?1b?eck?1?ecky??y??yy?e0?1, 所以（1）可以合并到（2），即
11
?(2)klim(1?)cx?b?eck.（不论k?0 或k?0） x??xax?1*例23 limx?0xa?0令a?1?y?x limy?0y (书p.57例1.2.37)
loga(1?y)?lim1loga(1?y)1yy?0?1?lna. logae1ax?bx?cxx(),a?0,b?0,c?0. 例24 计算limx?03ax?bx?cxax?bx?cxx()?lim[1?(?1)]x 解 limx?0x?03311ax?bx?cx ?lim[1?(?1)]x?03?e1(lna?lnb?lnc)31ax?1?bx?1?cx?1?3xax?bx?cx?13??(?)
?e1ln(abc)31?eln(abc)3?3abc.
sinxx?a(). 例25 计算 limx?asina1解 原式
?lim[1?x?a1sinasinx?sinasinasinx?sina1??x?asina??]sinx?sina(??)
sinx?sina因为 lim() x?ax?a2cos?limx?ax?ax?ax?ax?acos?sin?sin22?cosa所以,由 22?limx?ax?ax?a2cosa?1sina(??)知： 原式?e?ecota.(a?k?,k?0,?1,?2?)
书p.57例35 limx?0?lim(x?0cosx?3cosxcosx?11?3cosx?lim(?) 222x?0sinxsinxsinxcosx?11?cosx1??) 22323sinxcosx?1sinx1?cosx?cosx1?cosxx2?111111=lim[(2?2)?(???(??)??. x?0xsinx232cos?11?3cosx?3cos2x2
12
(1?x)??1,??1. 书p.57例38 limx?0x(1?x)??1e?ln(1?x)?1e?ln(1?x)?1?ln(1?x)lim?lim?lim??lne????. x?0x?0x?0xx?ln(1?x)x1?(cosx)?,??0.（L?Hospitalrule洛必达法则） 书p.58例39 lim2x?0x2x2?1x2?11书p.58例40 lim(2)?lim[(1?2)?(x?2)]x2?2?e?1?.
x??x?2x??ex?2x2cosx?sinxsin2x(). 书p.58例41 limx?01?sin?cosx?sinxsin2xcos?1cos?1(1?sinx)sin2x1()?[(1?)]?e2?. 1?sinx1?sinxe11?sinxcos?111无穷小量与无穷大量 一. 两个定义
定义1 如果lim?(x)?0，则称变量?(x)当x?x0时,是一个无穷
x?x0小量。类似，如果lim?(x)?0，?(x)也称为一个无穷小量。同样，
x??若limf(n)?0，则f(n)也称为一个无穷小量。
n?? 为简化，今后对极限过程x?x0常常可以理解为也包含x??的情况。
x2?0,∴当x?0时,y?x2是一个无穷小量。 例1 ?limx?0例2?lim?0,?当x??时,y?是一个无穷小量。
x??例3 ?limsinx?0,?当x?0时,y?sinx是一个无穷小量。
x?01x1xlim例4 ?n??11n???0,?y?当时,是一个无穷小量。
2n2n定义2 如果当x?x0时，变量y?f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)当x?x0时为无穷大量，记为 xlim（也包含???，f(x)???x0 13
或???）。
（?定义2中的f(x)的绝对值无限增大，?f(x)没有固定的常数A作为它的变化趋势，故f(x)没有极限，或说limf(x)不存在）。
x?x0例5 ?lim11当x?2时，是一个无穷大量。显然??,?y?x?2x?2x?2下列关系成立:
如果f(x)?0，而limf(x)?0，则xlim?xx?x001??; f(x)如果limf(x)??，则xlim?xx?x001?0. f(x)ex???）例如，当x???时，ex是无穷大量，（?xlim，而e?x????1ex1。又如，当x?0时，x3是无穷小量，?0）xx???e11而3是无穷大量（即lim3??）。
x?0xx是无穷小量（即lim二. 函数（数列）极限的无穷小量表示
定理4.1 limf(x)?A?f(x)?A??,其中lim??0.
x?xx?x00证 必要性（?）?limf(x)?A,????0,???0,使得当0?|x?x0|??x?x0时，恒有|f(x)?A|??.
此表明函数(f(x)?A）是一个无穷小量(?lim(f(x)?A)?0),记
x?x0为?(x)，即f(x)?A??(x)，因此f(x)?A??(x)，其中?(x)为无穷小量。
充分性 （?） 设f(x)?A??，其中A是常数，???(x)是无穷小量，即lim?(x)?0,由极限定义：???0,???0，使当
x?x0?|x?x0|??时，有|?|??，即|f(x)?A|??. 此表明 limf(x)?A.
0x?x0注 对x??的情形以及对数列的情形，同样可证。即有
n??limyn?A?yn?A??n，其中
14
n??lim?n?0.limf(x)?A?f(x)?A??(x)，其中lim?(x)?0.
x??x??三. 无穷小量的性质
例6 limx2?sin?0(?|sin|?1)
x?0*例7 求 lim4x2?x?1?x?1x?sinx2x???1x1x.
解 分子分母同除以x，原式化为
4x2?x?1?x?1x?sinx2x???lim?limx2x1x142?2?2??xxxxxxsinx?x2x22x???
?4?1?1. 1推论1.常量与无穷小量的乘积仍是一个无穷小量。 推论2.有限个无穷小量的乘积仍是一个无穷小量。 推论3.无穷小量除以极限不为零的变量仍是一个无穷小量。 证 设当x?x0时,u(x)为无穷小量,v(x)的极限为A，且A?0,不妨设
limA > 0，由于x?xv(x)?A?0,0 所以，对于??v(x)?A?A2A?02，存在??0，
使得当
20?x?x0??, 时有 ，即
0?A3A?v(x)?,22亦即 3A?v(x)?A. 因此
121在0?x?x0?? 时是有界变量，再v(x)由定理4.2 便知命题成立. 四. 无穷小量的阶
定义 设?,?是同一极限过程中的两个无穷小量。如果
lim
??0，则称?是较?高阶无穷小，记作??o(?). ?15
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