第二部分：函数、导数及其应用（6）
(限时：时间45分钟，满分100分)
一、选择题
?1?a
1．(2011年黄冈模拟)设a∈?－1，1，，3?，则使函数y＝x的定义域是R，且为
2??
奇函数的所有a的值是( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
1a
【解析】 分别验证a＝－1,1，，3知当a＝1或a＝3时，函数y＝x的定义域是
2
R且为奇函数．
【答案】 A
2．如图，是二次函数y＝ax＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于( ) ccA. B．－ aac
C．± D．无法确定
a
2
?c?【解析】 ∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝?? ?a?
c
＝－(∵a<0，c>0)．
a【答案】 B
3．方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A．0 C．a≤1 D．0 1 【解析】 当a＝0时，x＝－，故排除A、D； 2当a＝1时，x＝－1，排除B， 【答案】 C 4．(2012年济宁调研)已知函数f(x)＝ax＋bx＋c的图象经过点(－1,3)和(1,1)， 若0 A．[2,3] B．[1,3] 第 1 页 共 4 页 2 2 C．(1,2) D．(1,3) 【解析】 ??a－b＋c＝3???a＋b＋c＝1 ?a＋c＝2?c＝2－a. ∵0 5．(2011年山东淄博) 幂函数y=x-1及直线y=x，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如右图所示)，那么幂函数y=x的图象经过的“卦限” 是( ) A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤ 1【解析】 由0＜x＜1，y＝x＞x，x＞1时，y＝x＜x知，y＝x的图象经过①⑤“卦 2 限”．故选D. 【答案】 D 二、填空题 6．已知幂函数f(x)＝x满足3f(2)＝f(4)，则f(x)的表达式为________． 【解析】 ∵3f(2)＝f(4)，∴3·2＝4. ∴2＝3，即n＝log23.∴f(x)＝xlog23. 【答案】 f(x)＝xlog2 3 7．当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________． 【解析】 ∵x＋mx＋4<0，对x∈(1,2)恒成立． 2 2 n n n n ?4?2 ∴mx<－x－4，即m<－?x＋?对x∈(1,2)恒成立． ?x? 4 又根据函数单调性定义知f(x)＝x＋在x∈(1,2)上为递减函数， x4?4?∴4 第 2 页 共 4 页 8．(2011年丰台月考)已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1) ＝1，若f(x)在区间[m，n]上的值域是[m，n]，则m＝________，n＝________. 【解析】 f(1+x)=f(1-x) ∴对称轴x=1， ∵f(0)=0，f(1)=1. 如右图． ∴当x∈[m，n]的值域是y∈[m，n]， ∴m=0，n=1. 【答案】 m=0，n=1 三、解答题 9．已知幂函数y＝xm－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减 mm 函数，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围． 33 【解析】 ∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N＋，∴m＝1,2， 又∵函数图象关于y轴对称， ∴m－2m－3是偶数，而2－2×2－3＝－3为奇数， 1－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1. 1 而y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， 3 11 ∴(a＋1)－＜(3－2a)－等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜ 33 3－2a. 23 解得a＜－1或＜a＜. 32 23 故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}． 32 第 3 页 共 4 页 2 2 2 2 2 10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a， 且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)． 若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式． 【解析】 ∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)． ∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0.因而 f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax－(2＋4a)x＋3a.① 由方程f(x)＋6a＝0得ax－(2＋4a)x＋9a＝0.② 因为方程②有两个相等的根，所以 Δ＝[－(2＋4a)]－4a·9a＝0， 12 即5a－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－. 5 11263 由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①得f(x)的解析式f(x)＝－x－x－. 5555 22 2 第 4 页 共 4 页
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