又当n?1时，c1?a1b2?23不满足上式，
?8,n?1?cn?? . n?1?n?2,n?2数列?cn?的前2020项的和S2020?8?2?23?3?24?????2020?22021
?4?1?22?2?23?3?24?????2020?22021
设T2020?1?22?2?23?3?24?????2019?22020?2020?22021 ③， 则2T2020?1?23?2?24?3?25?????2019?22021?2020?22022 ④， 由③?④得：?T2020?22?23?24?????22021?2020?22022
22(1?22020)??2020?22022??4?2019?22022 ，
1?2所以T2020?2019?22022?4，
所以S2020?T2020?4?2019?22022?8. 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
19．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为正方形，PA?底面ABCD，
PA?AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：平面AEF?平面PBC．
（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°． 【答案】（1）见解析； （2）点F为BC中点.
【解析】(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF与平面PCD的法向量，利用数量积求出法向量间夹角，进而得到二面角的余弦值。 【详解】
（1）因为PA?底面ABCD，BC?平面ABCD，
第 13 页 共 21 页
所以PA?BC.
因为ABCD为正方形，所以AB?BC， 又因为PAIAB?A，所以BC⊥平面PAB. 因为AE?平面PAB， 所以AE?BC.
因为PA?AB，E为线段PB的中点， 所以AE?PB， 又因为PB?BC?B， 所以AE⊥平面PBC. 又因为AE?平面AEF， 所以平面AEF?平面PBC.
（2）
uuuruuuruuur因为PA?底面ABCD，AB?AD，以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz， 设正方形ABCD的边长为2，则
A?0,0,0?,B?2,0,0?,C?2,2,0?,D?0,2,0?,P?0,0,2?,E?1,0,1?，
uuuruuuruuur所以AE??1,0,1?,PC??2,2,?2?,PD??0,2,?2?.
设点F的坐标为?2,?,0??0???2?,所以AF??2,?,0?. 设n??x1,y1,z1?为平面AEF的法向量，
uuuruuuv?n?AE?0,?x1?z1?0,v则?uuu所以?
2x??y?0,n?AF?0,1?1?取y1?2，则n????,2,??.
设m??x2,y2,z2?为平面PCD的法向量，
uuuv?m?PC?0?x2?y2?z2?0v,所以?, 则?uuuy?z?0m?PD?0?22?第 14 页 共 21 页
取y2?1，则m??0,1,1?.
因为平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°， 所以cos30??解得??1，
故当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30o. 【点睛】
本题主要考查直线与平面、平面与平面垂直的判定以及建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角的方法、二面角的定义，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题.
m?nm?n?2??2?2?2?4?3， 24x2y220．已知圆O:x?y?，椭圆C:2?2?1（a?b?0）的短轴长等于圆O半
3ab22径的6倍，C的离心率为（1）求C的方程；
2． 2（2）若直线l与C交于A,B两点，且与圆O相切，证明：?AOB为直角三角形．
x2y2【答案】（1）??1.； （2）证明见解析.
42【解析】(1)根据椭圆的几何性质即可求出C的方程；
(2)法一，分直线斜率不存在和存在两种情况，求出点坐标利用向量数量积即可证明，法二，分和x轴平行和不平行两种情况，后和法一一样. 【详解】
（1）因为圆O的半径为23， 3x2y223所以C:2?2?1(a?b?0)的短轴长为6??22，
3ab所以2b?22，解得b?因为C的离心率为2．
2c2，所以? ①，
a22又因为a2?c2?b2，所以a2?c2?2 ②，
第 15 页 共 21 页
联立①② ，解得a2?4，
x2y2所以所求C的方程为??1.
42（2）证明：证法一：①当直线l斜率不存在时, 直线l的方程为x??23． 3当x?2323232323时，A(,),B(,?),
33333uuuruuur44所以OA?OB???0.
332323232323时，A(?,),B(?,?), 33333uuuruuur44所以OA?OB???0，
33当x??综上，OA?OB.
所以?AOB为直角三角形．
②当直线l斜率存在时，设其方程为y?kx?m,A(x1,y1),B(x2,y2),
Q直线l与圆相切，?23|m|?,
23k?1即3m2?4k2?4?0，
?y?kx?m,?222由?x2y2得，(1?2k)x?4kmx?2m?4?0，
?1??2?44km2m2?4,x1x2?. 所以x1?x2??1?2k21?2k2所以
uuuruuur22OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m
(1?k2)(2m2?4)?4k2m2?m2(1?2k2)3m2?4k2?4???0,
1?2k21?2k2所以OA?OB.
综上所述:OA?OB. 所以?AOB为直角三角形． 证法二：①当直线方程为y?23时, 3A(?uuuruuur2323232344,),B(,),?OA?OB????0, 333333所以OA?OB.所以?AOB为直角三角形．
第 16 页 共 21 页
相关推荐：
loading