单元aba＇b＇受力为：
?u??u?2u??2uF?M?1??F?M??AE??AE?AE2dz??AE2dz???z??z?z?z ? 单元aba＇b＇力的平衡，F＝ma，m＝W/g，加速度a为位移两次求导，
?2uW?2uAE2dz?g?t2?zWgm?杆重量密度 ? ? AdzAdz2?2u2?u?c?t2?z2 式中：W—单元重量；g —重力加速度；
(6-1)方程为二阶偏微分方程， c— 应力波波速。 6.2波动方程的波动解
c＝ E
?(6-1)
方程 ? u 2 ? u 的波动解为二个反向波的叠加。 ? c
?t2?z222U( z , t )= f(z－ct)＋g(z＋ct) (6-2) 波f(z－ct)以波速c沿x轴正向传播，g（z＋ct）以波速c沿x轴负向传播，如图(6-2)：
图6-2
6.3应力波沿细长杆的传播
设波f(z－ct)为下行波（入射波）Wd Wd ＝f(z－ct)＝f（ξ） ξ＝z－ct Wd分别对x和t取偏导数,
?Wd?? ? z ，?Wd?Wdd??Wd????c?x??dt?z ，
，E＝c2.ρ ，
上式两边乘杆截面积A，得：
，， （6-3）
Z=ρAc为杆力等阻抗， ν— 质点运动速度
假设杆端自由，当敲击的压应力传至自由端时，杆端力为零，由力的平衡条件，从自由端反射回来的波为拉力波。
F=Fd＋Fu=0 , Fd=－Fu (6-4) 因此，应力波沿细长杆传播结果为:
（1）下行压力波（ν向下），遇自由端反射为上行拉力波（ν向下），端点F＝0，ν加倍； （2）下行压力波（ν向下），遇固定端反射为上行压力波（ν向上），端点ν＝0，F加倍； （3）下行拉力波（ν向上），遇自由端反射为上行压力波（ν向上），端点ν加倍； （4）下行拉力波（ν向上），遇固定端反射为上行拉力波（ν向下），端点ν＝0。 6.4打桩时应力波的传播
打桩时，当锤重远小于桩重，锤对桩的作用可假定是半正弦压力脉冲波。
F（t）=－F0sin(πt/ τ) 桩顶处应力
σ0（t）=－(F0/A)sin(πt/ τ) 式中 τ—脉冲力持续时间； A—桩截面积；
F0—脉冲力峰值。
下行应力波 σ
（z,t）
=f(z－c0t)
桩顶（z=0）处 σ σ
（0,t）
=f(－cot)= －(F0/A)sin(πt/ τ)= (F0/A)sin〔(π/c0τ)(－cot)〕
（z,t）
=(F0/A)sin〔(π/c0τ)(z－cot)〕
在t=τ时，即锤击过程结束的瞬时， σ
（z,t）
=(F0/A)sin〔π（z/c0τ－1)〕 (6-5）
当t=L/ c0即应力波到达桩底后将产生反射，后续行为将依赖于桩端支承条件。
图6-3 打桩时应力波的传播
(a)固定端；(b)自由端
如果桩尖持力层为基岩，可近似视为固定端，此时入射压力波反射仍为压力波，桩端总应力等于入射波和反射波相加，压力波如图6-3（a）阴影部分所示。
如果桩端持力层为很软的软土，不能限制桩端位移，可近似为自由端，反射的应力波为压力波，桩端总应力为入射波和反射波的代数和，其拉力波如图6-3（b）阴影部分所示。 实际大部分工程桩桩端持力层介于以上两种情况之间，反射的上行波是压力波还是拉力波视桩端土层情况，如果桩较长，桩端土为粘性土，往往反射的上行波为拉力波，当拉应力超过混凝土的抗拉强度时，会在据桩尖一定位置把桩拉裂。
工程中打桩，一般锤重为桩重的一半左右，而不是远小于桩重，又加有锤垫和桩垫，实际脉冲力不是简单的半正弦脉冲，比半正弦要复杂的多。 6.5上、下行波的计算
图 6-4 应力波沿杆件传播
自由杆受锤击后，将产生以波速c向下传播的压缩波（下行波），经过dt时间，波行走距离为dL dL=cdt
dL长度范围内受到压缩的变形du，则应变为： ε=du/dL=du/cLt
由虎克定律，杆内应力为： σ=F/A=E·ε， F= A· E ·du/cLt 质点O运动速度为： V= du/dt=F·c/E·A
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