高考中《平面向量》易错题库

高考中《平面向量》易错题

055350 河北隆尧第一中学 焦景会

平面向量知识要点

1．两个向量的数量积与向量同实数积

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定；

（2）两个向量的数量积称为内积，写成a·b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分，符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0。因为其中cos?有可能为0；

（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c。但是a?b= b?c2．平面向量数量积的运算律

（1）结合律不成立：a?b?c?a?b?c，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线，在实数中，有(a?b)c = a?(b?c)，但是(a?b)c? a (b?c)。

（2）(a?b)2?a2?2a?b?b2，a2?b2?(a?b)(a?b)，但a3?b3?(a?b)(a2a?c；

????a?b?b2)，

(a?b)3?a3?3a2?b?3a?b2?b3。

3．向量知识在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直。 4．注重数学思想方法

①．数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。

②．化归转化的思想方法。

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的

2判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式a?a，沟通了向量与实数间的转化关系；

??2一些实际问题也可以运用向量知识去解决。

③．分类讨论的思想方法。

?如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a?在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的?随分

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点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。下面就高考中平面向量易错、易混点举例分析如下。 一、概念定义理解不透彻致错

例1、（陕西卷理8文8）在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学AP?2PM,则科网PA?(PB?PC)等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （（ （ ） （A）?4444 （B）? （C） (D) （（（（（（（（ 9339【错解】 不能正确处理向量的方向致错选为D 由AP?2PM知, p为?ABC的重心,根据向量的加法,

214PB?PC?2PM，则AP?(PB?PC)=2AP?PM=2APPMcos0??2???1?339。

?【正解】 AP?(PB?PC)=2AP?PM=2APPMcos0?2???1?213349，

4?PA?(PB?PC)??AP?(PB?PC)??，正确答案：A 。

9二、混淆平面向量运算公式及运算律致错 例2、（浙江卷文5）已知向量a?(1,2)，若向量c满足(c?a)//b，则c? （ ） b?(2,?3)．c?(a?b)，A．(,) B．(?7793777777,?) C．(,) D．(?,?) 393993【错解】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现

了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．由于混淆向量平行与垂直的条件，即非0向量

a//b?x1y2?x2y1?0，a?b?x1x2?y1y2?0，而不能求得答案。

【正解】不妨设C?(m,n)，则a?c??1?m，对于c?a//b，则有,2??n,a?b?(3,?1)???3(1?m?)772?(2n；又c?a?b，则有3m?n?0，则有m??,n??，答案：D 。

93??例3、（2009宁夏海南卷文）已知a???3,2?,b???1,0?，向量?a?b与a?2b垂直，则实数?的值为 （A）?1111 （B） （C）? （D） 7766【正解】向量?a?b＝（－3?－1，2?），a?2b＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有 （－3?－1，2?）×（－1,2）＝0，即3?＋1＋4?＝0，解得：?＝?三、不能正确应用向量加法与减法几何意义致错

例4、（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或其中

，

R ，则

+

= _________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

=

+

，

1，选.A。 72 / 5

【错解】错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质即平面向量基本定理。 【正解】设BC?b、BA?a则AF?代入条件得??u?11b?a ,AE?b?a ,AC?b?a， 2224???u?33。

BABC?例5、（天津卷理15）在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），BABC的面积是

【错解】不清楚

BD3?BD，则四边形ABCD

BABA?BCBC与∠ABC的角平分线有关。

【正解】由题知四边形ABCD是菱形，其边长为2，且对角线BD等于边长的3倍，所以

cosABD?313，SABCD?(2)2??3。 ??，故sinABD?2222?2?22?2?6四、不能将向量与函数进行联系

例6、（四川卷文16）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为

f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，

则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)

②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换； ③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）

【错解】忽略函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，对立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力

的试题不够适应。

【正解】①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b，

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f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是真命题 ②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e，

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题，【答案】①③④。 五、不能将向量与平面几何进行联系

1?2?例7、（天津卷文15）若等边?ABC的边长为23，平面内一点M满足CM?CB?CA,则

63?MA?MB?________.

【错解】不能将向量与三角形中的几何性质结合运用，或对基本知识的综合运用能力不够强。 【正解】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0),A(23,0),B(3,3)

?33131?35这样利用向量关系式，求得M(,)，然后求得MA?(,?),MB?(?,?)，运用数量积公

222222??式解得为-2。

例8、（浙江卷理7）设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．3 B．4 C．5 D．6

【错解】不能将向量与圆、三角形等知识相结合。

【正解】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．答案：C 六、不能将向量与三角函数进行联系

例9、（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,则x?y 的最大值是________.

【错解】不能正确应用三角函数性质求解。

o1?cos??x?y????OC?OA?xOA?OA?yOB?OA,2【正解】设?AOC?? ，?，即?

1??cos(1200??)??x?y?OC?OB?xOA?OB?yOB?OB,??2，

∴x?y?2[cos??cos(120??)]?cos??3sin??2sin(??0?6)?2。

总上可见，不断积累练习过程中易错的问题，有针对性地进行易错题训练，可少走弯路，避免大量

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练习，收到事半功倍的效果。 [链接练习]

1、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足

OP?OA??(AB|AB|?AC|AC|?),??[0,??), 则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )

(A) 外心 (B) 内心 (C) 重心 (D) 垂心

2、将函数y=2x的图象按向量 a平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① a的坐标可以是 （-3，0） ②a的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③a的坐标可以是（0，6） ④a的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ） A、1 B、2 C、3 D、4

3、已知|AB|?8，|AC|?5，则|BC|的取值范围是（ ）

A. [3,8]

B. （3，8）

C. [3,13]

D. （3，13）

????4、△ABC中，已知AB?AC?0，BC?AB?0，CB?CA?0，判断△ABC的形状。 [链接练习答案]：1、答案：B。错误原因：对OP?OA??(AB|AB|?AC|AC|),??[0,??)理解不够。

不清楚AB|AB|?AC|AC|与∠BAC的角平分线有关。

2、答案：D 错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。

3、答案：C 解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出|AB|?8，|AC|?5，BC?AC?AB。

（1）当△ABC存在，即A、B、C三点不共线时，3?|BC|?13；

（2）当AC与AB同向共线时，|BC|?3；当AC与AB反向共线时，|BC|?13。∴|BC|?[3,13]，故选C。

错误原因：对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时，△ABC不存在，错选D。 4、【正解】AB?AC?|AB|?|AC|?cosA；

BC?AB?|BC|?|AB|?cos???B???|BC|?|AB|?cosB，CB?CA?|CB|?|CA|?cosC。

∵AB?AC?0,BC?AB?0,CB?CA?0。∴cosA?0，cosB?0，cosC?0，∴A、B、C均为锐角。∴△ABC为锐角三角形。

错因 ∵BC?AB?0，∴|BC|?|AB|?cosB?0。∴∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形。错将BC与AB的夹角看成是△ABC的内角B，向量BC与AB的夹角应为??B。

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