线性代数自测题

线性代数自测题-3

时间：90分钟

一、选择题 (每题3分，共15分) ?a11?1、设A??a21?a?31?1? P2??0?0?-1

a12a22a3201k-1

a13??a21??a23?， B??a31?aa33???11a22?ka23a32?ka33a12?ka13a23??0??a33?，P1??0?1a13???1000??1?， 0??0??0?，则A=( )。 1??-1

-1

-1

-1

-1

-1

(A) P1BP2 (B) P2BP1 (C) P1P2B (D) BP1P2。

2、设A, B, C为同阶矩阵，且ABC=E，则下列各式中不一定成立的是( ) (A) CAB=E (B) B-1A-1C-1=E (C) BCA=E (D) C-1A-1B-1=E。

3、设n(n?3)阶可逆矩阵A的伴随矩阵为A*，常数k?0，?1，则(kA)?=( ) (A) kA (B) kA (C) k A(D) kA 。 4、设n阶方阵A与B等价，则（ ）

(A) ?A?=?B? (B) ?A???B? (C) 若?A??0，则?B??0 (D) ?A?= -?B?。 5、设A为n阶方阵，且满足A=E，则下列结论正确的是( )。

(A) A?E，则A+E不可逆 (B) A+E可逆 (C) A?E，则A+E可逆 (D) A-E可逆。

二、填空题 (每题3分，共15分)

1、设三阶矩阵A=(?, ?2, ?3)，B=(?, ?2, ?3 )，其中?, ?, ?2, ?3都是三维列向量，已知

?A?=2, ?B?=1/2，则 ?A+B?= 。 2、设A为n阶矩阵，A?为A的伴随矩阵，且AA?=3E，则 ?8A-1-3A??= 。 3、设A, B及A+B均为可逆矩阵，则 (A-1+B-1)[B(A+B)-1A]= 。

4、设A是3阶矩阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，

则满足AQ=C的可逆矩阵Q为 。 5、已知实矩阵A=(aij)3?3，且满足

(i) aij=Aij (i, j=1,2, 3)，其中Aij是aij的代数余子式，(ii) a11?0，则 |A|= 。

三、计算题 (每题10分，共40分) ?1???21、设A??0??0?03?40T? n-1? n? -1?

2

005?60??0?-1-1

，E为四阶单位矩阵，且B=(E+A)(E-A)，求 (E+B)。 ?0?7??Tn

2、设??(1,0,?1)，A=??，n为正整数，a为任意实数，求?aE-A?。

?2?3、设矩阵A=?1?0?1200??0?，矩阵B满足 ABA? =2BA? +E，求B。 1?? 1

4、已知P, A均为n阶矩阵，且

?1???-1

PAP=???????10??????，其中1的个数为r， ???0?? 试计算 ?A+2E?。

四、证明题 (共30分)

1、 设 ? = (x1, x2, …, xn)，? = (y1, y2, …, yn)，已知 ??=3，B = ??，A =E-B， 证明 (i) B=3B (k?2为正整数)， (5分)

(ii A+2E或A-E不可逆， (5分)

(iii) A及A+E均可逆，并求其逆。 (10分)

2

2、 设A是n阶矩阵，满足 A-A-2E=O，证明 r(A-2E)+r(A+E)=n。 (10分)

k

k-1

T

T

T

T

2

线性代数自测题-3参考答案

一、选择题

1、(A)。2、(D)。3、(B)。4、(C)。5、(A) 。 二、填空题

?0n?（?1）1、 10 。2、 。3、 E 。4、?13?0?1001??0?。5、 1 。 1??三、计算题

?1???11、?0??0?02?20003?3??0???0?2n

。2、a(a-2) 。3、???0??4????1323023130?0??rn-r

0? 。4、3?2 。 ?1???3?四、证明题

1、(iii) A?1?12(A?E)，(A?E)?1?12A。

2、解：A2?A?2E?O?(A?2E)(A?E)?O?r(A?2E)?r(A?E)?n,

又因为(A?E)?(A?2E)?3E?n?r(3E)?r(A?E)?r(A?2E),综上得证

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