?kPQ?y2?y34?, 22y2?y3y2y3?442y24?直线PQ的方程是y?y2?(x?)
y2?y342即(y?y2)(y2?y3)?4x?y2,即y(y2?y3)?y2y3?4x.
由（*）式，?y2y3?4(y2?y3)?4,代入上式，得(y?4)(y2?y3)?4(x?1). 由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.
模型二：切点弦恒过定点
2222例题：有如下结论：“圆x?y?r上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0y?y0y?r”，类比也有
xxyyx2y2结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为02?02?1”，过椭圆C：
ababx2?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B. 4（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积。
xx43,t)(t?R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为1?y1y?1 3433x1?ty1?1 ① 同理可得x2?ty2?1② ∵点M在MA上∴333x?ty?1,即x?3(1?ty) 由①②知AB的方程为3易知右焦点F（3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）
【解】（1）设M(x2?y2?1,化简得7y?6y?1?0 （2）把AB的方程x?3(1?y)代入443||36?281623? 又M到AB的距离d?3?∴|AB|?1?3? 7731?31163∴△ABM的面积S??|AB|?d?
221◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用
本题的书写步骤替换之，大家注意过程。
◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？
参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库
参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料
练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线
l:x?y?2?0的距离为
32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B2为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由
20?c?22?32结合c?0,解得c?1.所2以抛物线C的方程为x?4y.
2121x,求导得y??x 42x12x22,y2?设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?), 4411则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,
22x1x12x1x??y1,即x1x?2y?2y1?0 所以切线PA：y?y1??x?x1?,即y?222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0
(Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?2因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1
?x0x?2y?2y0?0联立方程?2,消去x整理得y2??2y0?x02?y?y02?0
?x?4y22由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0
所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1
22又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,
1?9?所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???
2?2?91所以当y0??时, AF?BF取得最小值,且最小值为.
222222
22练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线C1:x?4y,C2:x??2py?p?0?,点M?x0,y0?在
抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-1. 2(I)求p的值;(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.?A,B重合于O时,中点为O?.
【答案】
模型三：相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。
x2y2例题：如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆C于
ab2A、B两点，点A、B在直线G:x?a上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、
BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
2
法一：解：?F(1,0),k?(a,0) 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，
a2?1a2?1,0)猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(,0) AE与BD相交于FK中点N ,且N(22。
证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a,y2),D(a,y1)，当m变化时首先AE过定点N
22?x?my?12222222Q?22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?0....8分2222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(Qa?1)?y1?y2又KAN?2,KEN?a?11?a2?my122a2?1(y1?y2)?my1y22而KAN?KEN??0221?aa?1(?my1)22a2?1(这是Q(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??(?2)?m?2222a?mba?m2b2(a2?1)?(mb2?mb2)??0)222a?mb
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
a2?1,0)∴AE与BD相交于定点N(2
法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量
也不大。
◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。
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