随机变量的几种收敛及其相互关系

随机变量的几种收敛及其相互关系

故P(|Xn?X|r?2(1?Cr?r))?1.总之: |Xn?X|r?2(1?Cr?r)以概率1成立且

P.所以由控制收敛定理2(1?Cr?r)可积，还有|Xn?Xr|???0limE|Xn?X|r?E0?0.

定义4.1 设(?,F,P)是概率空间，{Xn}是R.V序列， 若supn?1|X|>an?|Xn|dp?0(a???)

则称{Xn}的积分一致可积.若对任给??0，存在??0，使得所有满足P(A)??的事件A，都有sup?|Xn|dp??，则称{Xn}的积分一致绝对连续。

n?1|A若 supEXn???， 即若 sup?Xndp???，

n?1?则称{Xn}的积分一致有界. 若supP{Xn?a}?0(a???)，

n?1则称{Xn}依概率有界.

引理4.8 (i){Xn}的积分一致可积的充要条件是{Xn}的积分一致绝对连续且一致有界。

（ii）若{Xn}依分布收敛，则{Xn}依概率有界。

引理4.9 若{Xn}依概率有界，且{Xn} (r>0)的积分一致绝对连续，则{Xn}一致可积.

证明 对于??0，由于Xn的积分一致绝对连续，有??0存在，使当

P(A)??时就有?|Xn|rdp???(n?1,2,L).因为{Xn}依概率有界，对于上述的

Arrr??0有B>0使当a>B

时就有P(|Xn|>a)?? (n?1,2,?).这样一来，当a>B时就有

|Xn|?a?|Xn|rdp??,r(n?1,2,L). 证毕

L定理 4.3 设对某r?0, Xn一致可积，则Xn???X的充要条件是

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随机变量的几种收敛及其相互关系

PXn???X.

证明 充分性.由Riesz定理，存在Xn的子列Xn1，使Xn1以概率1收敛于X.由Fatou定理,有

??Xdp??lim|XnK|rdp?lim?|XnK|rdp?sup?|Xn|rdp???,

?k??K???n?1?r

r

rr可见X可积.由于Xn的积分一致绝对连续及X可积,对任给??0，存在

??0，当A?F且P(A)??时就有

r|X|?ndp??,n?1,2,3L,Ar|X|?dp??. AP又因Xn???X，故存在N，当n?N时P(|Xn?X|??)??.这样一来，当n?N时就总有

|?r|X?X|dp?n?|Xn?X|???|Xn?X|rdp?|Xn?X|???|Xn?X|rdp

??rp(|Xn?X|??)?Cr[L这便证明了Xn???X.

|Xn?X|???|Xn|rdp?|Xn?X|???|X|rdp]??r?Cr[???].

由引理4.9及定理4.3，立即得到:若对某r?0, Xn的积分一致绝对连续，

LP则对这个r而言Xn???X的充要条件是Xn???X.这条结论也可由定理4.3P的证明看出, 因那里仅用到Xn???X及Xn的积分的一致绝对连续性。

rr5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系

在一般情况下，由随机变量序列几乎处处收敛可推出其依概率收敛 ,进而可推出其依分布收敛,可见判别几乎处处收敛的重要性.给出了它的几个等价命题,同时还证明了独立随机变量和序列几乎处处收敛等价于依概率收敛,亦等价于依分布收敛。

若存在集A?F,P(A)?0,使当??AC时，有lim|Xn(?)?Xm(?)|?0，则称

m,n??随机变量序列{Xn(?)}是Cauchy a.s.收敛的。

a.s.定理5.1 Xn???X?{Xn}是Cauchy a.s.收敛的.

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随机变量的几种收敛及其相互关系

a.s.证明： 必要性 设Xn???X则存在集A?F,P(A)?0,当??AC时，有

limXn(?)?X?(),进而有|Xn(?)?Xm(?)|?|Xn(?)?X(?)|?|Xm(?)?X(?)|

n???0(m,n??),即{Xn}是Cauchy　a.s.收敛的.

充分性 设{Xn}是Cauchya.s.收敛的。则存在集A?F,P(A)?0,使当

??AC时，有lim|Xn(?)?Xm(?)|?0,令X(?)?limsupXn(?)，对任意的??AC，

m,n??n??由于{Xn(?)}是一实值Cauchy序列，因此limsupXn(?)?limXn(?)，从而对

n??n??a.s.??AC，有limXn(?)?X(?),即Xn???X.

n??a.s.定理5.2 Xn???X????0,P{|Xn?X|??,i.o.}?0.

?定理5.3 Xn???X????0,limP{?|Xm?X|??)}?0.

n??m?na.s.

证明： 对???0,令An(?)?{|Xn?X|??},??(n?1,2,3,…).因为

{Xn?X,n??}??limsupAn(?)??{??Am(?)}，所以，

??0n????0n?1m?na.s.Xn???X????0,limP{sup|Xm?X|??)}?0.

n??m?na.s.而 P{limsupAn(?)}?limP{?Am(?)},于是，Xn???X????0，

n???n??m?n?limP{?(|Xm?X|)??}?0.

n??m?na.s.推论5.1 Xn???X????0，limP{sup(|Xm?X|)??}?0.

n??m?n证明： 由sup(|Xm?X|)???0(|Xm?X|??)}及定理5.3可得

m?nm?n?a.s.推论5.2 若对???0,有?P{|Xn?X|??}???,则Xn???X.

n?1?证明： ???0,令An(?)?{|Xn?X|??},(n?1,2,…),则?P(An(?))???

n?1a.s.P{?Am(?)??P(Am(?))?0(n??),由定理5.3，即得Xn??因此，?X.

m?n???m?n定理5.4 设{Xn}独立，{an}为常数列，则

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随机变量的几种收敛及其相互关系

?Xn?an?0 a.s.????0,?P{|Xn?X|??}???

n?1定理5.5 设{Xn}独立，记Yn??Xk(n?1,2,3,…),则

k?1?a.s.P Yn???Y?Yn???Y.　

定理5.6 设{Xn}独立，记Yn??Xk(n?1,2,3,…),则

k?1?a.s.LYn???Y?Yn???Y.

总结

四种收敛性

随机变量序列的收敛性，（1）当用测度描绘时，可定义几乎必然收敛,依概率收敛；（2）用数学期望描绘时,可定义r阶收敛；（3）用随机变量分布函数的弱收敛描绘时,可定义依分布收敛。

四种收敛蕴涵关系

随机变量序列从不同角度定义的收敛,它们内部有一定的蕴涵关系。从定义出发，可得出以下的结果：

几乎处处收敛 r阶收敛 依概率收敛 依分布收敛 注：图中的 表示推出

一般情况是不能反推的。上面章节证明出的结果是在给出一定条件的情况下得出新结果：

（1）几乎处处收敛与r阶收敛等价

一般不能由几乎处处收敛推出r阶收敛，但给出一定的条件可使r阶收敛推出几乎处处收敛，上面第3章已经证明了在一定条件下得出r价收敛与几乎处处

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