3．4 直线与平面的垂直关系
1.掌握直线与平面垂直的定义． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活
运用定理证明直线与平面垂直．
3．理解三垂线定理及逆定理，并能应用三垂线定理及逆定理证明线面或线线垂直．
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果一条直线l与一个平面α相交，并且垂直于平面α内所有的直线，就称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.
(2)判定定理
①文字语言：如果一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直．
②符号语言：若直线a?平面α，直线b?平面α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝O，则l⊥α. 2．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
3．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
1．下列命题中正确的有( )
①如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ③如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0个 C．2个
解析：选B.只有③正确．
2．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
→→A.PC与BD →→C.PD与AB
→→B.DA与PB →→D.PA与CD B．1个 D．3个
→→
解析：选A.可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，PA·CD＝0，排除D. 又因为AD⊥AB， 所以AD⊥PB，
→→
所以DA·PB＝0，
→→
同理PD·AB＝0，排除B，C，故选A.
3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.求证：PB⊥平面EFD.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系．D是坐标原点，设DC＝a. 连接AC交BD于G，连接EG，依题意得P(0，0，a)，D(0，0，0)，E?0，，?，
?22?
?
aa?
B(a，a，0)，
→
→?aa?
PB＝(a，a，－a)，DE＝?0，，?，
?22?
aa→→
所以PB·DE＝0＋－＝0，
22
→→所以PB⊥DE， 即PB⊥DE. 又已知EF⊥PB， 且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD.
直线与平面垂直的有关概念
下列命题中，真命题的个数为( )
(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；
(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直； (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；
(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内；
(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 (1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：①平行；②异面，因此(1)假．
(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，该命题则错；若为相交，则该命题为真，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不能说明面内这无数条直线的位置关系，该命题则为假命题．
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用可知，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以该命题为真命题．
22
(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，所以该命题为真命题．
(5)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c，且a，b，c共点于O.因为a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，所以b、c确定一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于a、c确定的平面，c垂直于a、b确定的平面．所以该命题为真命题．
【答案】 C
注意线面垂直的定义中“所有的直线”与“无数条直线”不同，其实质是直线与平面内任意一直线垂直．
直线与平面垂直的判定
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 【证明】 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)， E(2，2，1)，F(1，1，2)．
→
所以EF＝(1，1，2)－(2，2，1) ＝(－1，－1，1)，
AB1＝(2，2，2)－(2，0，0)＝(0，2，2)，
→
→
AC＝(0，2，0)－(2，0，0)＝(－2，2，0)．
→→
所以EF·AB1＝(－1，－1，1)·(0，2，2)． ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
→
EF·AC＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，所以EF⊥平面B1AC.
直线与平面垂直的判定方法
(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．
(2)建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达
→
到证明的目的．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：
CF⊥平面EAB.
证明：在正方形B1BCC1中， 因为E、F分别是B1C1、B1B的中点， 所以△BB1E≌△CBF. 所以∠B1BE＝∠BCF， 所以∠BCF＋∠EBC＝90°， 所以CF⊥BE.
因为AB⊥平面B1BCC1，
CF?平面B1BCC1，
所以AB⊥CF，又AB∩BE＝B，所以CF⊥平面EAB.
三垂线定理(逆定理)的应用
如图所示，P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，
若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.
【证明】
O是△ABC的垂心?BC⊥AE??
?Q是△PBC的垂心?BC⊥PE?
?
?BC⊥平面PAE.
因为OQ?平面PAE，所以OQ⊥BC.
因为PA⊥平面ABC，BF?平面ABC，所以BF⊥PA. 又因为O是△ABC的垂心，所以BF⊥AC.
所以BF⊥平面PAC，则FM是BM在平面PAC上的射影， 因为BM⊥PC，根据三垂线定理的逆定理， 得FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM. 又OQ?面BFM， 所以OQ⊥PC， 又PC∩BC＝C， 所以OQ⊥平面PBC.
三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题，对于同一平面内的两条直线垂直问题也可以用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．
已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝1，棱BB1＝2，连接B1C，过B作B1C的垂
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