2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.4直线与平面的垂直关系学案湘教版选修2_1

所以BC⊥平面PAC.

(2)因为BC⊥平面PAC，AN?平面PAC， 所以BC⊥AN.

又AN⊥PC，BC∩PC＝C， 所以AN⊥平面PBC. 所以AN⊥PB.

又因为PB⊥AM，AM∩AN＝A， 所以PB⊥平面AMN.

[B 能力提升]

10.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( )

A．1∶2 C．3∶1

B．1∶1 D．2∶1

解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a，则B(1，0，

?1?0)，E?，1，0?，P(0，0，a)． ?2?

设点F的坐标为(0，y，0)，

→→?1?则BF＝(－1，y，0)，PE＝?，1，－a?.

?2?因为BF⊥PE， →→

所以BF·PE＝0，

1?1?解得y＝，即点F的坐标为?0，，0?， 2?2?所以F为AD的中点， 所以AF∶FD＝1∶1.

→→→→→→

11．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥→

平面ABC，则BP＝________．

→→→→

解析：因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0， 所以3＋5－2z＝0， 所以z＝4.

→→

因为BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC， →→??BP·AB＝0，所以?

→→??BP·BC＝0，

40

x＝，??7??x－1＋5y＋6＝0，

即?解得? ?3x－3＋y－12＝0，15?

??y＝－7，15→?33?故BP＝?，－，－3?.

7?7?答案：?

?33，－15，－3?

?7?7?

12．(选做题)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1＝3，D是AC的中点，问在侧棱AA1上是否存在点P，使CP⊥平面BDC1，并证明你的结论．

解：不存在．证明如下：以C1为原点，C1A1，C1C，C1B1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，3，2)，

C(0，3，0)，D(1，3，0)，

→

所以C1B＝(0，3，2)，

C1D＝(1，3，0)．

→

假设侧棱AA1上存在一点P(2，y，0)(0≤y≤3)使CP⊥平面BDC1，CP＝(2，y－3，0)， →→??CP·C1B＝0，所以?

→→??CP·C1D＝0，

??3（y－3）＝0，即? ?2＋3（y－3）＝0，?

→

y＝3，??

所以?7这样的y不存在．

y＝，??3

所以侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥平面BDC1.