2019-2020学年数学人教A版选修4-5提能训练：第4讲 第2课时用数学归纳法证明不等式

第四讲 第2课时

A．基础巩固

1．(2017年驻马店月考)某个命题和正整数n有关，如果当n＝k(k为正整数)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得( )

A．当n＝6时该命题不成立 C．当n＝8时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立 D．当n＝8时该命题成立

【答案】A 【解析】假设n＝6时命题成立，则可推得n＝7时命题成立．现n＝7时命题不成立，故n＝6时命题不成立．故选A．

111

2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n＜n(n∈N*，n＞1)时，不等式在n＝k＋

232－11时的形式是( )

111

A．1＋＋＋…＋k＜k＋1

232

1111

B．1＋＋＋…＋k＋k＋1＜k＋1

232－12－111111

C．1＋＋＋…＋k＋k＋k＋1＜k＋1

232－122－1

1111111

D．1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋1＋k＋1＜k＋1

232－122＋12－22－1【答案】D 【解析】因为不等式左边的分母是逐1增加的．

11113

3．(2017年菏泽期中)在用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥(n≥2)的过程

2n24n＋1n＋2中，当由n＝k推到n＝k＋1时，不等式左边应( )

1

A．增加了

2?k＋1?11

B．增加了＋ 2k＋12k＋2

111

C．增加了＋，但减少了 2k＋12k＋2k＋1D．以上都不对

1111

【答案】C 【解析】当n＝k时，左侧式子为＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，

2kk＋1k＋2k＋3

11111

左侧式子为＋＋…＋＋＋，∴当由n＝k推到n＝k＋1时，不等式左边减

2k2k＋12k＋2k＋2k＋3111

少了，增加了＋.故选C．

k＋12k＋12k＋2

1111a4．若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，正整数a的最

n＋1n＋2n＋33n＋124大值是( )

A．24 C．26

【答案】B 【解析】取n＝1，为B．

111127

5.(2018年柳州期末)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n－1>(n∈N*)成立，其初

24642

始值至少应取n＝ .

【答案】8

11－n

212711111

【解析】由等比数列前n项和公式得1＋＋＋…＋n1＝>，∴n<，∴n>7.

2421282－1－164

2又n∈N*，∴n＝8.

111111

6．用数学归纳法证明2＋2＋2＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则

234?n＋1?22n＋2当n＝k＋1时，应推证的目标是______________________________．

1111111

【答案】2＋2＋2＋…＋＋>－

234?k＋1?2[?k＋1?＋1]22?k＋1?＋2

7．(2017年浙江节选) 已知数列{xn}满足x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，0＜xn＋1＜xn.

【证明】当n＝1时，x1＝1>0. 假设n＝k时，xk>0，

那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故xk＋1＞0. 因此xn＞0(n∈N*)．

所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1， 因此0＜xn＋1＜xn(n∈N*)．

B．能力提升

8.(2018年贵阳校级月考)设f(n)＝nn1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N*.

(1)当n＝1,2,3,4时，比较f(n)与g(n)的大小；

＋

B．25 D．27

1112626a＋＋＝，令＞，得a＜26，故答案

24241＋11＋23·1＋124

(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明. 【解析】(1)f(1)g(3)，f(4)>g(4). (2)猜想：当n≥3，n∈N*时，有nn＋1>(n＋1)n. 证明：①当n＝3时，猜想成立.

②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时猜想成立， 即kk＋1>(k＋1)k，>1.

(k＋1)k(k＋1)2

∵(k＋1)2>k(k＋2)，即>k，

k＋2

(k＋1)k＋2?k＋1?(k＋1)2?k?kk＋1∴＝?>?k＋1?k·k＝>1. ?k·k＋1kk＋2??(k＋2)k＋2(k＋1)??∴(k＋1)k＋2>(k＋2)k＋1，即(k＋1)(k＋1)＋1>[(k＋1)＋1]k＋1， ∴当n＝k＋1时，猜想也成立.

由①②知，对一切n≥3，n∈N*时，nn＋1>(n＋1)n都成立.

kk＋1