解 设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以
4?rJI电场强度 E??er?4??0(r?K)rR2J?erI2(R1?r?R2)
(R1?r?R2)
R2由两导体间的电压 U0?R1?Edr??R2(R1?K)?II dr?ln???4??0(r?K)r4??0K?R1(R2?K)?R14??0KU0可得到 ?R2(R1?K)?
ln??R(R?K)?12??0KU0J?er所以 ?R(R?K)?
r2ln?21??R1(R2?K)?I????J?()?媒质中的电荷体密度为 ?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为
1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln???R1(R2?K)??K2U0??1?erJ?r?R1???2??erJ?r?R2（2）两理想导体球面间的电阻
1?R2(R1?K)?(R1?K)R1 ln??R(R?K)?12??KU01???R(R?K)?(R2?K)R2 ln?21??R1(R2?K)??KU0R?U0R(R?K)1 ?ln21I4??0KR1(R2?K)3.29 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，
两球之间的距离为d(d??R1,d??R2)，试求两小导体球面间的电阻。
解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q，由于两球间的距离d??R1、d??R2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。
设两小球分别带电荷q和?q，由于d??R、d??R，可得到两小球表面的电位为
1211?)
4??R1d?R2q11?2??(?)
4??R2d?R1q4??C?? 所以两小导体球面间的电容为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2?1?q(I4??? 由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2111111故两个小导体球面间的电阻为 R??(???)
G4??R1R2d?R1d?R23.30 在一块厚度d的导电板上， 由两个半径为r1和r2的圆弧和夹角为?的两半径割
G?出的一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。
解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有
1JE1?U1 dr2??dr1故得到沿厚度方向的电阻为 R1?d?U?I1?J1S1?1?(r22?r12)
d2U12d ?I1??(r22?r12)J1??E1??U1
题3.30图
（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2，则
J2?I2I?2S2?rd
E2?J2I?2 ???rdr2U2??E2dr?r1I2rln2 ??dr1故得到两圆弧面之间的电阻为 R2?U2r1?ln2 I2??dr1?（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有 U3?E3rd?
0?由于E3与?无关，所以得到
E3?e?U3 ?rJ3??E3?e??U3 ?rr2?dU3?dU3r2
I3??J3e?dS??dr?ln?r?r1S3r1U3? ?I3?dln(r2r1)故得到沿?方向的电阻为 R3?3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个
Emin的值。
解 设内导体单位长度带电荷为?l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为
E(r)?b?l 2??0rb由内外导体间的电压 U??Edr??a?l?bdr?lln 2??0r2??0aa得到 ?l?2??0U
ln(ba)由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 E(r)?在圆柱形电容器中，r?a处的电场强度最大 E(a)?令E(a)对a的导数为零，即 由此得到 ln(b/a)?1 故有 a?U
rln(ba)U
aln(ba)?E(a)1ln(ba)?1??2?0 2?aaln(ba)bb ?e2.718eUEmin?U?2.718
bbql23.32 证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为
2C单位长度上的电容。
解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 E(r)?内外导体间的电压为
bbql2??r
U??Edr??a则同轴线单位长度的电容为 C?同
轴
线
b?l?bdr?lln 2??r2??aaql2??U?ln(ba)度
位
长
的
静
电
储
能
为
单
22ql211qq112llWe???Ed????()2?rdr? ln(ba)?2?2a2??r22??2C3.33 如题3.33图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界
面上，此两种介质的电容率分别为?1和?2，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。
解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有 E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2，所以D1?D2。由高斯定理，得到
D1S1?D2S2?q
即 2?r?1E?2?r?2E?q
22?1aq所以 E?q2?r2(?1??2)
?2o 导体球的电位
题 3.33图
?qq1?(a)??Edr?dr? 2?2?(???)a2?(???)r1212aa?故导体球的电容 C?q?2?(?1??2)a ?(a)1q2（2） 总的静电能量为 We?q?(a)?
24?(?1??2)a3.34 把一带电量q、半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。
解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f，然后在半球面上对f积分，求出两半球之间的电场力。
导体球的电容为 C?4??0a q2q2? 故静电能量为 We?2C8??0a根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力
1?We1?q2q2f????()? 22244?a?a4?a?a8??0a32??0a方向沿导体球表面的外法向，即 f?erf?q232?2?0a4这里 er?exsin?cos??eysin?sin??ezcos? 在半球面上对f积分，即得到两半球之间的静电力为
F??fdS?er
2??2??000erq232?2?0a4a2sin?d?d??
3.35 如题3.35图所示，两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入在电容率为?的液体中，两板间加电压U，证明液面升高
2?a2q2ez32?2?0a4?2?cos?sin?d??32??a0q22ez
h?其中?为液体的质量密度。
解 设金属板的宽度为a、高度为L。当金属板间的液面升高为h时，其电容为
1U(???0)()2 2?gdC?U?ah?0a(L?h)? dd金属板间的静电能量为
1aU22We?CU?[h??(L?h)?0]
22d液体受到竖直向上的静电力为
L ?WeaU2Fe??(???0)
?h2dh 而液体所受重力
? Fg?mg?ahd?g
2aUFe与Fg相平衡，即 (???0)?ahdg
2dd 题3.35图
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