【例8】（2018秋?朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一 个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长． 【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD＝3mm， 在Rt△AOD中， ∵AD＝
＝
＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【变式8-1】（2018秋?丹江口市期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆 材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【答案】解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径， ∴E为CD的中点， 又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2， 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得：x＝13， ∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
【变式8-2】（2018秋?兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米． （1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？
【分析】（1）首先过点O作OF⊥AB于点G，交⊙O于点G，连接OA，由垂径定理即可求得AF的长，然后由勾股定理，求得OF的长，继而求得油的最大深度．
（2）分两种情况：根据（1）求得OE＝300mm，可得油面上升EF＝OF﹣OE，可得结论，同理可得当油面在圆心O的上方时，油面上升的高度．
【答案】解：（1）过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA， ∴AF＝AB＝300mm， ∵直径MN＝1000mm ∴OA＝500mm 由勾股定理得，OF＝则GF＝OG﹣OF＝100mm；
（2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况： 当油面CD在圆心O的下方时，连接OC， ∵OE⊥CD， ∴CE＝400mm，OE＝
则EF＝OG﹣OE﹣FG＝100mm，
同理，当CD在圆心O上方时，可得EF＝700． 答：此时油面上升了100毫米或700毫米．
＝300mm， ＝
＝400mm，
【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式8-3】（2018秋?云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论． 【答案】解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2， 解得，r＝34；
（2）连结OA′， ∵OE＝OP﹣PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302， 解得：A′E＝16． ∴A′B′＝32． ∵A′B′＝32＞30， ∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【考点9 切线的性质与判定】
【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
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