18.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知四边形AAC11C为矩形，AA1?6，AB?AC?4，
?BAC??BAA1?60?，?A1AC的角平分线AD交CC1于D.
（1）求证:平面BAD?平面AAC11C； （2）求二面角A?B1C1?A1的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）过点D作DE//AC交AA1于E，连接CE,BE，设ADICE?O，连接BO，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得CE?BO，CE?AD，由线面垂直的判断定理证得CE?平面BAD，再由面面垂直的判断得证.
（2）平面几何知识和线面的关系可证得BO?平面AAC11C，建立空间直角坐标系O?xyz，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.
317 17QAC?AA1，【详解】（1）如图，过点D作DE//AC交AA1于E，连接CE,BE，设ADICE?O，连接BO，
?DE?AE，
又AD为?A1AC的角平分线，?四边形AEDC为正方形，?CE?AD，
又QAC?AE，?BAC??BAE，BA?BA，??BAC??BAE，?BC?BE，又QO为CE的中点，
?CE?BO
又QAD,BO?平面BAD，ADIBO?O，?CE?平面BAD， 又QCE?平面AAC11C，?平面BAD?平面AAC11C，
1（2）在?ABC中，QAB?AC?4，?BAC?60?，?BC?4，在Rt?BOC中，QCO?CE?22，2
?BO?22，
又AB?4，AO?1AD?22，QBO2?AO2?AB2，?BO?AD， 2又BO?CE，ADICE?O，AD,CE?平面AAC11C，?BO?平面AAC11C， 故建立如图空间直角坐标系O?xyz，则A(2,?2,0)，A1(2,4,0)，C1(?2,4,0)，
uuuuruuuuruuuur， B1(0,6,22)，?C1B1?(2,2,22)，AC1?(?4,6,0)，C1A1?(4,0,0)uuuuvvur??m?C1B1???4x1?6y1?0v，??设平面AB1C1的一个法向量为m?(x1,y1,z1)，则?vuuuu，
???m?AC1?2x1?2y1?22z1?0ur令x1=6，得m?(6,4,?52),
uuuuvvr??n?C1B1v， ABC设平面111的一个法向量为n?(x2,y2,z2)，则?vuuuu??n?C1A1?r?4x2?0??，令y2=2，得n?(0,2,?1) ??2x2?2y2?22z2?0urrurrm?n92317?cos?m,n??u?rr?，由图示可知二面角A?B1C1?A1是锐角，
17102?3m?n故二面角A?B1C1?A1的余弦值为317. 17
【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.
x2y2219.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的上顶点为E，左焦点为F，离心率为，直线EF与圆
ab2x2?y2?1相切. 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于A,B两点，线段A,B的垂直平分线交x轴于点P，试
PF判断是否为定值？并说明理由.
ABx22【答案】（1）?y2?1；（2）存在，定值，理由见解析
24【解析】 【分析】
（1）根据已知条件得a?得出椭圆C的标准方程；
2c，b?c，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径可求得a,b,c，
?y?k(x?1)?（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,0)，设直线l:y?k(x?1)，联立?x2，消去y得2??y?1?22k?2?4k2(2k?1)x?4kx?2k?2?0，?x1?x2?2，x1x2?，根据弦长公式求AB， 22k?12k?122222法一:由P在线段AB的垂直平分线上，得PA?PB，由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得出中点的
1横坐标x0?(x1?x2)，可求得PF，可得所求的比值；
4法二:求出 线段AB的中点和线段AB的垂直平分线方程，可得点P的坐标，可求得PF，可得所求的比值；
【详解】（1）如图，Qe?c2，?a?2c，b?c，直线EF的方程为x?y?c?0， ?a2Q直线EF与圆x2?y2?c21?相切，?，?c?1,a?2,b?1，
222
x2?椭圆C的标准方程为?y2?1.
2（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,0)，
?y?k(x?1)?y得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0， 设直线l:y?k(x?1)，联立?x2，消去2??y?1?22k?2?4k2，x1x2? ?x1?x2?22k?12k2?1?4k222k2?222(k2?1) ?AB?1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?(2)?4?2?22k?12k?12k?12222222法一:QP在线段AB的垂直平分线上，?PA?PB，?(x1?x0)?y1?(x2?x0)?y2………① 2x12x22QA,B在椭圆C上，?y?1?，y2?1?，
2221221x12x22代入①得(x1?x0)?1??(x2?x0)?1?，化简得x0?(x1?x2)
42211?4k2k2?1 ?PF?x0?1=|(x1?x2)?1|?|1??2|?442k?12k2?12k2kk2k2法二: 线段AB的中点为(?2， ,2)，?线段AB的垂直平分线为?k(y?2)?x?22k?12k?12k?12k?1k2令y?0，得x0??2
2k?12k2?1PFk2k2?12k2?1?2??，， ?PF?x0?1?|1?2|?AB22(k2?1)42k?12k2?12k2?1故
PF2. 为定值
AB4
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线现圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，以及线段的垂直平分线方程求得，是比较综合的题，解决此类问题关键在于将目标条件转化为关于交点坐标的韦达定理，从而得以解决，属于中档题.
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