2020年中考数学专题《圆的综合》针对训练卷（附解析） 

2020年中考数学专题《圆的综合》针对训练卷

时间：100分钟 满分：100分

一．选择题（每题3分，共30分）

1．下列说法正确的有（ ）

①相等的圆心角所对的弧相等；②长度相等的两条弧是等弧；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； ④三点可以确定一个圆． A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

2．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ） A．4

B．8

C．10

D．12

3．已知，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，CD⊥AB，且CD＝1．若以点A为圆心，

为半径作⊙A，以点B为圆心，1为半径作⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系是（ ） A．内切

B．外切

C．相交

D．外离

4．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠AOB＝100°，则∠C＝（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60°

5．如图，扇形纸扇完全打开后，扇形ABC的面积为240πcm2，∠BAC＝150°，BD＝2AD，则BD的长度为（ ）

A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm

6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OE⊥AB，垂足为点F，连结弦AE，已知OE＝1，则下面的结论：①AE2+BC2＝4 ②sin∠ACB＝（ ）

③cos∠B＝

，其中正确的是

A．①② B．①③ C．②③ D．②

7．边长为2的正六边形的面积为（ ） A．6

B．6

C．6

D．

8．BC是⊙O的直径，D在⊙O上， 如图，点A、若∠ADC＝48°，则∠ACB的度数为（ ）

A．42° B．48° C．90°

和

D．52°

都经过圆心O，则阴影部分的面

9．如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使积为（ ）

A． B． C．2 D．4

10．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）

A．

B． C．π D．2π

二．填空题（每题3分，共30分）

11．B两点，O1，O2在AB的两侧，AC为⊙O1的直径，⊙O1，⊙O2交于A，延长BC为⊙O2，交于点D、E为弧BC上一点，延长EB与⊙O2交于点F，M，N分别为CD，EF的中点，AC＝2CE，求∠AMN＝ ．

12．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝75°，则∠DAO+∠DCO的大小是 ．

13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（，0）、（3，0）、

（0，5），点D在第一象限，且∠ADB＝60°，则线段CD的长的最小值为 ． 14．如图，AB是半圆O的直径，四边形ABCD内接于圆O，连接BD，AD＝BD，则∠BCD＝ 度．

15．Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为 ． 16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4

，C为弧AB中点，点P是⊙O上一个动点，取弦

AP的中点D，则CD的最大值为 ．

17．正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为 ．

18．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点M，若AB＝CM＝4，则⊙O的半径为 ．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是 ．

20．已知A，B，C三点在⊙O上，且AB是⊙O内接正三角形的边长，AC是⊙O内接正方形的边长，则∠BAC的度数为 ．

三．解答题（每题8分，共40分）

21．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧两点，∠BAC＝26°． （Ⅰ）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；

（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．

22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求DB的长．

23．如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为D，连接BD，过点B作射线PD的垂线，垂足为C． （1）求证：BD平分∠ABC；

（2）如果AB＝6，sin∠CBD＝，求PD的长．

24．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．

（1）判断AG与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若BA＝8，∠B＝37°，求直径BC的长（结果精确到0.01）．

25．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE． （1）求证：点B在⊙M上．

（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值． （3）当点D到移动到使

＝30°时，求证： AE2+CF2＝EF2．

参考答案

一．选择题

1．解：①在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故不符合题意； ②在同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧；故不符合题意； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；故符合题意； ④不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故不符合题意； 故选：D．

2．解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10． 故选：D．

3．解：在30°的直角三角形ACD中，因为CD＝1，则AC＝2，AD＝在等腰直角三角形BCD中，求得BD＝CD＝1，则AB＝因为⊙A的半径﹣⊙B的半径＝所以两圆内切． 故选：A． 4．解：∵

，

﹣1＝AB，

﹣1，

，

∴∠C＝∠AOB， ∵∠AOB＝100°， ∴∠C＝50°． 故选：B． 5．解：设AB＝rcm，

∵扇形ABC的面积为240πcm2，∠BAC＝150°， ∴

解得：r＝24， 即AB＝24cm，

∵BD＝2AD，BD+AD＝AB， ∴BD＝16cm， 故选：A．

6．解：连接AO，延长AO交⊙O于M，连接BM、CM、EM．

＝240π，

∵AM是直径， ∴∠AEM＝90°， ∴AE2+EM2＝AM2， ∴AE2+EM2＝4，

显然无法判定BC＝EM，故①错误， ∵∠ACB＝∠AMB， ∴sin∠ACB＝sin∠AMB＝∵∠ABC＝∠AMC， ∴cos∠ABC＝cos∠AMC＝

＝

， ＝

，故②正确，

显然无法判断CM＝AE，故③错误， 故选：D．

7．解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝×360°＝60°， ∵OB＝0C，

∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝2， ∴它的半径为2，边长为2；

∵在Rt△OBH中，OH＝OB?sin60°＝2×∴边心距是：

；

＝6

． ，

∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×故选：A．

8．解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵∠B＝∠ADC＝48°， ∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°； 故选：A．

9．解：作OD⊥AC于D，连接AO、BO、CO， ∵OD＝AO＝∴∠OAD＝30°，

∴∠AOC＝2∠AOD＝120°， 同理∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝120°，

∴阴影部分的面积＝2S△AOC＝2××2故选：C．

×1＝2

，

＝1，AD＝AC＝

，

10．解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°，AB＝

AC＝2

，

∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝45°， ∴点B′、C、A共线，

∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′+S△AB′C﹣S扇形

CAC′﹣S△ABC

＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′

＝﹣

＝π． 故选：A．

二．填空题（共10小题）

11．解：如图，连接AD，AF．AE．

∵AC是直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AC＝2EC， ∴∠CAE＝30°，

∵∠ACD＝∠AEF，∠ADC＝∠AFE， ∴△ACD∽△AEF， ∴

＝

，

∵CM＝MD，EN＝NF， ∴

＝

，∴∠ACM＝∠AEN，

∴△ACM∽△AEN， ∴∠CAM＝∠EAN， ∴∠MAN＝∠CAE＝30°， 故答案为30°．

12．解：由AO＝BO＝CO可知：O是三角形ABC的外心， ∴∠ABC是圆周角，∠AOC是圆心角， ∴∠AOC＝2∠ABC＝150°， 又∠D＝75°，

所以∠DAO+∠DCO＝360°﹣150°﹣75°＝135°．

故答案为：135°．

13．解：作圆，使∠ADB＝60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示： ∵A（∴E（2

，0）、B（3，0）

，0），

又∠ADB＝60°， ∴∠APB＝120°， ∴PE＝1，PA＝2PE＝2， ∴P（2

，1），

∵C（0，5）， ∴PC＝

又∵PD＝PA＝2，

∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP） ∴CD最小值为：2故答案为：2

﹣2．

＝2

，

﹣2．

14．解：∵AB是半圆O的直径，AD＝BD， ∴∠ADB＝90°，∠DAB＝45°， ∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠BCD＝180°﹣45°＝135°， 故答案为：135． 15．解：设⊙O的半径为r， Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AB＝

＝10，

∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，

∴OD⊥BC，OE⊥AC，BD＝BF，AE＝AF， 易得四边形ODCE为正方形， ∴CD＝CE＝OE＝r，

∴BF+BD＝8﹣r，AF＝AE＝6﹣r， ∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2， 即⊙O的半径为2． 故答案为2．

16．解：如图，连接OD，OC，

∵AD＝DP， ∴OD⊥PA， ∴∠ADO＝90°，

∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点D在CK的延长线上时，CD的值最大， ∵C为弧AB中点， ∴OC⊥AB，

在Rt△OCK中，∵∠COA＝90°，OC＝2∴CK＝∵DK＝OA＝∴CD＝

+

＝， ，

+．

， ，

，OK＝AO＝

，

∴CD的最大值为故答案为：

+

17．解：连接AD， ∵⊙A的半径是2，

∴⊙A与AC边交于AC的中点F，

∵E为CD中点，

E点的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的圆，

∴当点B，E，F三点共线，此时BE与圆A相切时，BE的值最大， ∵AF＝2，AB＝4， ∴BF＝2

，

∵E为CD中点，F是AC的中点， ∴EF＝AD＝1， ∴BE＝2故答案为2

+1； +1．

18．解：连接OA，如图所示： ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AM＝AB＝2，∠OMA＝90°， 设OC＝OA＝x，则OM＝4﹣x， 根据勾股定理得：AM2+OM2＝OA2， 即22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x＝2.5； 故答案为：2.5．

19．解：过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC， ∵∠COE＝90°，

∴EC是⊙A的直径，即EC过O， ∵A（﹣2，1）， ∴OM＝2，ON＝1， ∵AM⊥x轴，x轴⊥y轴， ∴AM∥OC， 同理AN∥OE，

∴N为OC中点，M为OE中点， ∴OE＝2AN＝4，OC＝2AM＝2， 由勾股定理得：EC＝∵∠OBC＝∠OEC， ∴sin∠OBC＝sin∠OEC＝故答案为

．

＝

＝

．

＝2

，

20．解：①如图1所示：

∵AB是⊙O内接正三角形的边长，AC是⊙O内接正方形的边长， ∴∠AOB＝120°，∠AOC＝90°， ∴∠BCO＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∴∠BAC＝∠BOC＝75°；

②如图2所示，同①得出∠BAC＝15°， 故答案为：75°或15°．

三．解答题（共5小题） 21．解：（Ⅰ）连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝26°， ∴∠ABC＝64°， ∵OD⊥AB， ∴∠AOD＝90°，

∴∠ACD＝∠AOD＝×90°＝45°， ∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝26°， ∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝71°， ∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD＝71°； （Ⅱ）如图2，连接OC， ∵∠BAC＝26°， ∴∠EOC＝2∠A＝52°， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝90°， ∴∠E＝38°， ∵OD∥CE，

∴∠AOD＝∠E＝38°， ∴∠ACD＝

AOD＝19°．

22．（1）证明：连接BD，DO，

∵BC是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠CDB＝90°， 又∵E为AB的中点， ∴DE＝EB＝EA， ∴∠EDB＝∠EBD． ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD．

∵∠ABC＝90°， ∴∠EDB+∠OBD＝90°． 即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝∵∴

． ＝

＝10， ，

23．解：（1）证明：连接OD，如图1，

∵PD是⊙O的切线， ∴OD⊥PC， ∵BC⊥PC， ∴OD∥BC， ∴∠ODB＝∠CBD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠CBD＝∠OBD， 即BD平分∠ABC； （2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵sin∠CBD＝sin∠ABD＝∴AD＝2， ∴BD＝4

，

＝，

＝，AB＝6，

∵sin∠CBD＝∴CD＝

，

∴BC＝，

∵OD∥BC， ∴△PDO∽△PCB， ∴

，

∴＝，

∴PD＝．

24．解：（1）AG与⊙O相切， 证明：如图 连接OA， ∵OA＝OB，GA＝GE，

∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE． ∵EF⊥BC， ∴∠BFE＝90°． ∴∠ABO+∠BEF＝90°． 又∵∠BEF＝∠GEA， ∴∠GAE＝∠BEF． ∴∠BAO+∠GAE＝90°． ∴OA⊥AG，即AG与⊙O相切．

（2）∵BC为直径， ∴∠BAC＝90°，

在Rt△BAC中，∠BAC＝90°． ∵BA＝8，∠B＝37°，

∴BC＝≈10.02．

25．（1）证明：∵CD为⊙M的直径， ∴CM＝DM＝CD ∵∠ABC＝90°， ∴BM＝CM＝DM＝CD， ∴点B在⊙M上． （2）解：连接DE．

∵CD为⊙M的直径，CD⊥BE ∴∠DEC＝90°，

＝

，

∴∠DEA＝90°，BD＝DE， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠ACB＝45°，

∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝45°， ∴∠ADE＝∠A＝45°， ∴AE＝DE， ∴AE＝DE＝DB， ∴AD＝

∴AB＝AD+BD＝（∴BC＝AB＝（∴BC：BD＝

（3）证明：连接EM．

＝

BD， +1）BD，

+1）BD， +1．

∵∠EMB＝2∠ECB， 由（2）知∠ECB＝45°， ∴∠EMB＝90°， ∴∠EMF＝90°， ∴EM2+MF2＝EF2， ∵弧CG等于30°， ∴∠CMG＝30°， ∴∠DME＝60°， ∵DM＝EM，

∴△DME是等边三角形， ∴DE＝EM∠CDE＝60°， 由（2）知AE＝DE， ∴AE＝ME，

∵∠AEC＝90°∠CDE＝60°， ∴∠DCE＝30°，

∴∠DCE＝∠CMG＝30°， ∴CF＝MF， ∵EM2+MF2＝EF2， ∴AE2+CF2＝EF2．