教案《数列求和》

陕西省西安中学附属远程教育学校

7.3数列求和

【方法归纳】

（1）公式法——等差数列、等比数列求和

（2）分组转化法——整体不是等差或等比数列，经过适当分组，可转化

为等差、等比如：数列an?2n?3n?1

（3）倒序相加法

如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如 数列的前n项和公式即是用此法推导的．

（4）错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用此法，如 数列的前n项和公式就是用此法推导的．

（5）裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

常见的拆项公式有： ①

1? n(n?1)1?

(2n?1)(2n?1)②

③

1n?n?1? 【基础自测】

第89—90页，第1—4题 【例题精析】

题型一 分组转化求和

【例1】根据数列{an}的通项公式，求其前n项和

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（1）an?2n?3n?1 （2）an?n(n?1)

3n?13? 分析（1）利用分组转化法。Sn?n?2221 （2）方法一：用求和公式12?22???n2?n(n?1)(2n?1)

6 方法二：用裂项公式

1 n(n?1)?[(n?2)(n?1)n?(n?1)n(n?1)]

31 Sn?n(n?1)(n?2)

3【例2】已知数列{xn}的首项x1?3，通项xn?2np?nq（n?N*,p,q为常数），

且x1,x4,x5成等差数列。求 （1）p,q的值

（2）数列{xn}的前n项和Sn。

分析：（1）由2x4?x1?x5及x1?3，解得p?q?1； （2）Sn?2n?1?n(n?1)?2 2题型二 利用倒序相加法求和——用于函数求和中

【例3】 设f(x)?1， x2?2求f(?5)?f(?4)???f(0)?f(1)???f(5)?f(6)的值。 分析：由函数f(x)?1x)?f(y)可得，若x?y?1，则f(2x?2?1 2所以f(?5)?f(?4)???f(0)?f(1)???f(5)?f(6)?32。

题型三 利用错位相减法求和——{an},{bn}分别是等差、等比数列，求数列 {an?bn}的前n项和

【例4】求数列a,3a2,5a3,7a4,?(2n?1)?an,?(n?N?)的前n项和； 分析：分类讨论

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若a?0，Sn?0 若a?1，则Sn?n2

2a2(1?an?1)a?(2n?1)?an?1若a?0,a?1，用错位相减法可求得Sn? ?2(1?a)1?a【例5】 由数列{an}的项组成的新数列 a1,a2?a1,a3?a2,?an?an?1,?,为

1 首项是1，公比是的等比数列。

3（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn?nan，求数列{bn}的前n项和；

1311分析：（1）an?an?1?()n?1；所以an??()n?1。

32233113nn1n?1?() （2）bn?n[?()n?1]?223223再利用分组转化及错位相减法求{bn}的前n项和

b1?b2???bn?31111(1?2???n)?[1?2()?3()2???n()n?1]223333n(n?1)1111??[1?2()?3()2???n()n?1]

42333111设Tn?1?2()?3()2???n()n?1，由错位相加法可得

333313n133?6n1nTn?[1?()n]?()n???()

4323443所以

3n(n?1)33?6n1n3(n2?n?1)(1?2n)1n?1b1?b2???bn??[??()]???()4443443

题型四 利用裂项相消法求和

【例6】已知等差数列{an}满足：a3?7，a5?a7?26， {an}的前n项和为Sn。

（1）求an及Sn； （2）令bn?1(n?N?)，求数列{bn}的前n项和 2an?1第3页

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分析：（1）设公差为d，由a3?7，a5?a7?26解得，d?2，所以

an?2n?1,Sn?n2?2n

（2）bn?11111??(?)，所以，数列{bn}的2an?14n(n?1)4nn?1n

4(n?1)前n项和为

【评价】

1.已知等比数列{an}中，a1?11，公比q?，设

331bn?log3a1?log3a2???log3an，求数列{}的前n项和。

bn1n(n?1)111 分析：an?()n；bn??，所以??2(?)。

32bnnn?11?2n1)? 所以，数列{}的前n项和Sn??2(1? n?1n?1bn2. 已知数列{an}的通项公式为an?log2n?1(n?N?)，设其前n项和为Sn， n?2 则使Sn??5成立的自然数n（ B ）

A.有最大值63 B.有最小值63 C.有最大值32 D.有最小值32 《优化设计》

演练与反馈 第91页第1－3题 课时训练31

基础自测

1．数列{an} 的通项公式an?1n?n?1，则该数列的前99项之和等于（ ）

A．8 B．9 C．99 D．10

2．已知数列{an}的通项公式an=-2n+11，如果bn=|an|（n∈N+），则数列{bn}的

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