rrrrr（1）当一质点从原点运动到r??3i?4j?16k(m)时，求F所作的功；
r（2）如果质点到rr处时需，试求F的平均功率；
（3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。
分析：由功、平均功率的定义及动能定理求解，注意：外力作的功为F所作的功与重力作的功之和。 解：（1）A=rr?rrrrr =?(7i?6j)?(dxi?dyj?dzk)
00rrrrF?dr
=?-307dx??6dy
04 ??45J，做负功 （2）P?A45??75W t0.6（3）?Ek?A? = -45+ = -85J
??rr04rr?mgj?dr ?mgdy
02—35．一辆卡车能沿着斜坡以15km?h?1的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切
tan??0.02，所受的阻力等于卡车重量的，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车的速
率是多少
分析：求出卡车沿斜坡方向受的牵引力，再求瞬时功率。注意：F、V同方向。 解：sin??tg??0.02，且f?0.04G 上坡时，F?f?Gsin??0.06G 下坡时，F??f－Gsin??0.02G 由于上坡和下坡时功率相同，故 p?Fv?F?v?
所以v??45km/h?12.5m/s
2—36．某物块质量为P，用一与墙垂直的压力N使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为?，试计算物块沿题图所示的不同路径：弦AB，圆弧AB，折线AOB由A移动到B时，重力和摩擦力作的功。已知圆弧半径为r。
分析：保守力作功与路径无关，非保守力作功与路径有关。 解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为f??N。 （1）物块沿弦AB由A移动到B时， 重力的功?pgh?pgr 摩擦力的功?f?AB?重力的功?pgh?pgr
A O N B r ? 题图2—35
2?Nr
（2）物块沿圆弧AB由A移动到B时，
题图2—36
1摩擦力的功?f??AB???Nr
2（3）物块沿折线AOB由A移动到B时，
重力的功?pgh?pgr。摩擦力的功?f?AOB?2?Nr
2-37．求把水从面积为50m2的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为，水面至街道的竖直距离为5m。
分析：由功的定义求解，先求元功再积分。
解：如图以地下室的O为原点，取X坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。 选一体元dV?Sdx，则其质量为dm?pdV?pSdx。 把dm从地下室中抽到街道上来所需作的功为 dA?g(6.5?x)dm 故A?
2-38．质量为m的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m处于使弹
簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支承面间的滑动摩擦系数为?，求物体能达到的最远距离。 分析：由能量守恒求解。
解：设物体能达到的最远距离为x(x?0) 根据能量守恒，有
?1.50dA??1.50pSg(6.5?x)dx?4.23?106J
题图2-37
rv0 m 112mv0?kx2??mgx 222mv02?mg即：x?x??0
kk2题图2-38 解得x??mg??2?kv01?2?1? 2?k??mg??2—39．一质量为m、总长为l的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。
分析：分段分析，对OA段取线元积分求功，对OB段为整体重力在中心求功。 解：建立如图坐标轴 选一线元dx，则其质量为dm?mdx。 l铁链滑离桌面边缘过程中，OA的重力作的功为
11A1??dA??g(l?x)dm?mgl
28OB的重力的功为
1l201l20111mg?l?mgl 2243故总功A?A1?A2?mgl
8A2?rr题图2—39
2-40．一辆小汽车，以v?vi的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，
rr2F??Avi，A为常数，且A?0.6N?s2?m?2。（1）如小汽车以80km?h?1的恒定速率行驶
1km，求空气阻力所作的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率 分析：由功的定义及瞬时功率求解。
rrr2rr解：（1）v?80ikm/h??102im/s,?r?1?103im
9rrr2故F??Av2i?0.6?(?102)2i
9??则A?F??r??300kJ
(2)P?Fv?Av3?6584W
2-41．一沿x轴正方向的力作用在一质量为的质点上。已知质点的运动方程为
（1）力在最初4.0s内作的x?3t?4t2?t3，这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求：功；（2）在t=1s时，力的瞬时功率。
分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。 解：(1)v(t)?dx?3?8t?3t2 dt则 v(4)?19m/s,v(0)?3m/s 由功能原理，有
A??Ek?1m?v(4)2?v(0)2??528J ??2（2）v(t)?dxdv?3?8t?3t2,a(t)??6t?8 dtdtt?1s时，F?ma??6N,v??2m/s
则瞬时功率p?Fv?12W
2—42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。)
分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁钉时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。
解：设铁钉进入木板内xcm时，木板对铁钉的阻力为
f?kx(k?0)
由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故
1x?0fdx??fdx
1所以，x?2。第二次时能击入(2?1)cm深。
2—43．从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度v0应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转
分析：地面附近万有引力即为重力，卫星圆周运动时，万有引力提供的向心力，能量守恒。 解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为v, 地球质量为M, 半径为Re,卫星质量为m.
根据能量守恒，有
1GMm1GMm 2mv0??mv2?2Re2r又由卫星圆周运动的向心力为
GMmmv2 FN??2rr卫星在地面附近的万有引力即其重力，故
GMm?mg 2Re联立以上三式，得v0??1Re?2gRe?1?? ?2r?2—44．一轻弹簧的劲度系数为k?100N?m?1，用手推一质量m?0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1?0.02m处，如图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离x2?0.1m而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。 分析：系统机械能守恒。
解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，
致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。 根据能量关系，有
12kx1??mgx2所以，??0.2 2
题图2—44
题图2—45
2—45．一质量m?0.8kg的物体A，自h?2m处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩
x0?0.2m时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压0.1m时物体的速度。
分析：系统机械能守恒。
解：设弹簧下压0.1m时物体的速度为v。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩x0的位置为重力势能的零点。
当弹簧从原长向下压缩x0?0.2m时，重力势能完全转化为弹性势能，即
mg(h?x0)?12kx0 2当弹簧下压x?0.1m时，
mg(h?x0)?121kx?mg(x0?x)?mv2
22所以，v?3.1gm/s
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