2—46．长度为l的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为0.6l。
分析：小球在运动过程中机械能守恒；考虑到小球绕O点能完成圆周运动，因此小球在圆周运动的最高点所受的向心力应大于或等于重力。
证：小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在A处时速度为v，则:mgl?mg?2(l?d)?1mv2 2mv2又小球在A处时向心力为: FN?mg?
l?d其中，绳张力为0时等号成立。联立以上两式，解得d?0.6l
题图2—46
2—47．弹簧下面悬挂着质量分别为M1、M2的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把M1与M2的连线剪断后，M1的最大速率是多少设弹簧的劲度系数k?8.9N?m?1，而
题图2—47
M1?500g,M2?300g。
分析：把弹簧与M1看作一个系统。当M1与M2的连线剪断后，系统作简谐振动，机械能守恒。
解:设连线剪断前时弹簧的伸长为x，取此位置为重力势能的零点。M1系统达到平衡位置时弹簧的伸长为x?,根据胡克定律，有
kx?(M1?M2)g
kx??M1g
系统达到平衡位置时，速度最大，设为v。由机械能守恒，得
1211kx?kx?2?M1g(x?x?)?M1v2 222联立两式，解之：v?1.4m/s
2—48．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功． 分析：由于水桶漏水，人所用的拉力F是变力，变力作功。 解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点.
由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量 即： F?P?P0?ky?mg?0.2gy?107.8?1.96y 人的拉力所作的功为： A?dA?H10??0Fdy＝?(107.8?1.96y)dy=980 J
02-49．地球质量为6.0?1024kg，地球与太阳相距1.5?1011m，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。
分析：太阳绕地球一周365天，换成秒为，用质点角动量定义求解。
112?r2??1.5?101124解：L?rmv?rm?1.5?10?6.0?10?2.68?1040kg?m2?s?1
T365?24?60?602-50．我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近?439km，远地点高度d远?2384km，地球半径R地?6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。 分析：卫星绕地球运动时角动量守恒。 解：(d近?R地)mv近?(d远?R地)mv远 所以
V近d远+R地??1.28 V远d近+R地rrr2-51．一个具有单位质量的质点在力场F?(3t2?4t)i?(12t?6)j中运动，其中t是时间，
设该质点在t?0时位于原点，且速度为零，求t?2s时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。
分析：由牛顿定律、力矩、角动量定义求解。 解：对质点由牛顿第二律有
rrdv所以F?ma 又因为a?dtrv?0rrtrtr2dv??adt????(3t?4t)i?(12t?6)j??dt
00得v?(t3?2t2)i?(6t2?6t)j
rrrrr12rrrdr同样由v? 得r?(t4?t3)i?(2t3?3t2)j
43dtrrrrrrrr所以t=2时M?r?F??40k(N?m) L?r?mv??16k(kg?m2?t?1)
rrr2-52. 一质量为m的粒子位于（x, y）处，速度为v?vxi?vyj，并受到一个沿x方向的力f，
求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。 分析：由质点力矩、角动量定义求解
解：L?r?mv?(xi?yj)?m(vxi?vyj)?m(xvy?yvx)k
rrrrrrrrrrrrrrrM?r?f?(xi?yj)?fi??yfk
2-53．电子的质量为9.1?10?31kg，在半径为5.3?10?11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知电子的角动量为
h（h为普朗克常量, h?6.63?10?34J?s)，求其角速度。 2?分析：由角动量定义求解。 解：由L?r2m?得??L?4.13?1016rad?s?1 2mr2-54．在光滑的水平桌面上，用一根长为l的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O. 起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化 分析：绳子绷紧时，质点角动量守恒。 解：（1）当质点做圆周运动时，mv0b?mvl
可得其速度v?v0b l1bm(v0)2Ekb22l所以最终动能与初始动能之比??2?1，其他能量转变为绳子的弹性势
12Ek0lmv02能，以后转化为分子内能.
（2）绳子断后，质点将按速度v?v0动量J?mv0b?恒量。
2-55． 如题图2-55所示，质量分别为m1和m2的两只球，用弹簧连在一起，且以长为L1的线拴在轴O上，m1与m2均以角速度?绕轴在光滑水平面上作匀速圆周运动．当两球之间的距离为L2时，将线烧断．试求线被烧断的瞬间两球的加速度a1和a2．(弹簧和线的质量忽略不计)
分析：未断时，球2受的弹性力为圆周运动的向心力，线断瞬间弹性力不变仍为球2受的弹性力；该力使M1、M2 产生加速度。
解：未断时对球2有弹性力 f?m2?2(L1?L2) 线断瞬间对球1有弹性力 f?m1a1 ? L1 对球2有弹性力 f?ma
b沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0点的角lL2 m1 m2 22解得 a1?m2?2(L1?L2)/m1 O 2 a2??(L1?L2)
题图2-55
2-56．A、B两个人溜冰，他们的质量各为70kg，各以4m?s?1的速率在相距的平行线上相对滑行。当他们要相遇而过时，两人互相拉起手，因而绕他们的对称中心作圆周运动，如图2-56所示，将此二人作为一个系统，求： （1）该系统的总动量和总角动量； （2）求开始作圆周运动时的角速度 分析：两人速度大小相等、方向相反。
A rrr解：（1）系统的总动量P?m1v1?m2v2?0
题图2-56
总角动量L?r1m1v1?r2m2v2?420kg?m2?s?1 （2）??
B v4??5.33rad/s r1.5/22-57人造地球卫星绕地球中心做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其它星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗为什么 分析：由守恒条件回答。
答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力──地球引力的作用．人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零。
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