求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩．
1
(2)注意放缩的尺度：如2<
nn111
，2<2. n－1nn－1
(2019·安徽黄山高三第二次质检)已知数列?(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝都有Tn<1.
解 (1)因为Sn＝n， ① 当n≥2时，Sn－1＝n－1， ② 由①－②，得
2n＋1
?
?的前n项和Sn＝n，n∈N*.
?an－1?
n?
an－1
2
an＋1－1
2
，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对于任意的n∈N，
*
nan－1
＝1，故an＝n＋1
*
又因为a1＝2适合上式，所以an＝n＋1(n∈N)． (2)证明：由(1)知，
bn＝
2n＋1
an－1
2
an＋1－1
2
＝
2n＋1nn＋1
2
2
1＝2－
n2
1n＋1
2
，
1?11??11??1
Tn＝?2－2?＋?2－2?＋…＋?2－
n＋1?12??23??n＝1－
1
n＋1
2
? ??
，
所以Tn<1.
考向3 奇(偶)数项和问题
例3 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N.
- 5 -
*
(1)证明：an＋2＝3an； (2)求Sn.
解 (1)证明：由条件，对任意n∈N*
，有
an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，
因而对任意n∈N*
，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3. 两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2. 又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1. 故对一切n∈N*
，an＋2＝3an. (2)由(1)知，aan＋2
n≠0，所以
a＝3. n于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列； 数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列． 因此a－1
2n－1＝3
n，an－1
2n＝2×3
.
于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝(1＋3＋…＋3
n－1
)＋2(1＋3＋…＋3n－1
)
＝3(1＋3＋…＋3
n－1
33n)＝
－1
2
， n从而S3
3－12n－1＝S2n－a2n＝
2－2×3n－1＝32
(5×3n－2
－1)． 综上所述，- 6 -
当n为偶数时，数列中的奇数项与偶数项相同，分别为项；当n为奇数时，数列中的奇
2数项比偶数项多一项，此时偶数项为nn－1
2
项，奇数项为n－1
2
＋1＝n＋1
2
项．
?69?已知函数f(x)＝ln x＋cosx－?－?x的导数为f′(x)，且数列{an}满足an＋1＋an＝?π2?
nf′??＋3(n∈N*)．
6
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)若对任意n∈N，都有an＋2n≥0成立，求a1的取值范围． π?169?解 f′(x)＝－sinx－＋，则f′??＝4，故an＋1＋an＝4n＋3.
xπ2?6?(1)设等差数列{an}的公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd，
- 7 -
*
2
?π???
5
由an＋1＋an＝4n＋3得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n＋3，解得d＝2，a1＝.
2(2)由an＋1＋an＝4n＋3得an＋2＋an＋1＝4n＋7，两式相减得an＋2－an＝4，
故数列{a2n－1}是首项为a1，公差为4的等差数列；数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，
又a1＋a2＝7，a2＝7－a1，
??2n－2＋a1
所以an＝?
?2n＋3－a1?
n为奇数，n为偶数.
2
2
①当n为奇数时，an＝2n－2＋a1，an＋2n≥0，则有a1≥－2n－2n＋2对任意的奇数n恒成立，
1?25?n＋令f(n)＝－2n－2n＋2＝－2??＋，n为奇数，则f(n)max＝f(1)＝－2，所以a1≥－
?2?2
2
2.
②当n为偶数时，an＝2n＋3－a1，an＋2n≥0，则有－a1≥－2n－2n－3对任意的偶数n恒成立，
2
2
?1?252
令g(n)＝－2n－2n－3＝－2?n＋?－，n为偶数，则g(n)max＝g(2)＝－15，故－a1≥－
?2?2
15，解得a1≤15.
综上，a1的取值范围是[－2,15]．
真题
『真题模拟』
押题
1．(2019·齐齐哈尔高三二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝120，a2－a1，
a4－a2，a1＋a2成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
- 8 -
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