2020届高考数学大二轮复习专题三数列第3讲数列的综合问题练习文

(12分)已知各项均不为零的数列{an}

1*

的前n项和为Sn，且对任意的n∈N，满足Sn＝a1(an－1)．

3

(1)求数列{an}的通项公式；

8

(2)设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.

9

解题思路 (1)根据Sn－Sn－1＝an(n≥2)及递推关系式化简得an和an－1的关系式，从而求出an；(2)采用错位相减法求Tn，从而证明结论．

1121

解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝a1(a1－1)＝a1－a1，

333∵a1≠0，∴a1＝4.(2分)

44

∴Sn＝(an－1)，∴当n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)，

33两式相减得an＝4an－1(n≥2)，(4分)

∴数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，∴an＝4.(6分) 2n(2)证明：∵anbn＝log2an＝2n，∴bn＝n，(7分)

42462n∴Tn＝1＋2＋3＋…＋n，

444412462nTn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，(8分) 44444

1?3222222n2n?1111

两式相减得Tn＝＋2＋3＋4＋…＋n－n＋1＝2?＋2＋3＋4＋…＋n?－n＋1＝

4?44444444?44441?1?1－n??4?4?2n222n26n＋82×－n＋1＝－n－n＋1＝－n＋1.(10分)

1433×4433×41－4

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n86n＋88∴Tn＝－n<.(12分)

99×49

1．正确求出a1的值给2分．

2．利用an与Sn的关系构造等比数列给2分． 3．写出数列{an}的通项公式给2分． 4．求出数列{bn}的通项公式给1分． 5．采取错位相减法给1分．

6．两式相减后的正确化简计算给2分． 7．放缩法证明不等式给2分．

1．由an与Sn的关系求通项公式，易忽略条件n≥2而出错．

2．错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有n－1项，整个式子共有n＋1项． 3．放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明的目的．

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[跟踪训练]

1??2

(2019·沈阳模拟)(12分)设Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝an?Sn－?(n≥2)．

2??(1)求Sn； (2)设bn＝

Sn，求数列{bn}的前n项和Tn. 2n＋1

1?1???22

解 (1)当n≥2时，由Sn＝an?Sn－?得，Sn＝(Sn－Sn－1)?Sn－?，

2?2???11

整理得，Sn－1－Sn＝2Sn－1Sn?－＝2，(3分)

SnSn－1

11

又＝＝1，

S1a1

?1?

∴数列??是以2为公差、以1为首项的等差数列，则

?Sn?

1

Sn＝1＋2(n－1)，故Sn＝

1

.(6分) 2n－1

1

2n－1

2n＋1

(2)由(1)知，bn＝＝2n＋1

Sn1?1?1－＝??，(9分)

2?2n－12n＋1?

1??1??11??11??1－1??＝1?1－1?＝n.(12分) ∴Tn＝??1－?＋?－?＋?－?＋…＋?????3??35??57?2???2n－12n＋1??2?2n＋1?2n＋1

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