第4课时 难点自选——函数与导数压轴大题的3大难点及破解
策略
隐零点问题 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程将无法继续进行．但可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．
[典例] 设函数f(x)＝e－ax－2. (1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值． [解题观摩] (1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，单调递增区间是(ln a，＋∞)．(解答过程略)
(2)由题设可得(x－k)(e－1)＋x＋1>0，
xxx＋1
即k
e－1
e－1－x＋
令g(x)＝x＋x(x>0)，得g′(x)＝x2e－1－
xx＋1
xxe
＋1＝
xxx－x－
(x>0)． 2－
由(1)的结论可知，函数h(x)＝e－x－2(x>0)是增函数．
又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)(该零点就是h(x)的隐零点)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0， α＋1所以g(x)min＝g(α)＝α＋α.
e－1又e＝α＋2且α∈(1,2)， 则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)， 所以k的最大值为2. [题后悟通]
本题的关键就是利用h(x)＝e－x－2及h(1)<0，h(2)>0确定h(x)的隐零点，从而作出判断．
[针对训练]
xα
1－ln x1．已知函数f(x)＝. 2
x(1)求函数f(x)的零点及单调区间；
ln x(2)求证：曲线y＝存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0<－1.
x3?解：(1)函数f(x)的零点为e.函数f(x)的单调递增区间为?e2，＋∞??，单调递减区间
?为??0，e2?.(解答过程略)
ln x1－ln x(2)证明：要证明曲线y＝存在斜率为6的切线，即证明y′＝＝6有解，23xx等价于1－ln x－6x＝0在x>0上有解．
1构造辅助函数g(x)＝1－ln x－6x2(x>0)，g′(x)＝－－12x<0，函数g(x)在(0，＋∞)
2
x3?1??1?上单调递减，且g(1)＝－5<0，g??＝1＋ln 2－>0，所以?x0∈?，1?，使得g(x0)＝0.即
2?2??2?ln x证明曲线y＝存在斜率为6的切线．
xln x01－6x01?1?设切点坐标为(x0，f(x0))，则f(x0)＝＝＝－6x0，x0∈?，1?.
x0x0x0?2?1?1?令h(x)＝－6x，x∈?，1?.
x?2?
2
?1??1?由h(x)在区间?，1?上单调递减，则h(x) ?2??2? 极值点偏移问题 在近几年的高考中，极值点偏移问题常作为压轴题出现，题型复杂多变，面对此类问题时常会感到束手无策．事实上，只要掌握这类问题的实质，巧妙消元、消参、构造函数，问题便能迎刃而解． 1．极值点偏移的含义 若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示. 极值点x0 函数值的大小关系 图示 极值点不偏移 x0＝x1＋x2 2f(x1)＝f(2x0－x2) 峰口向上：f(x1)< f(2x0－x2) 左移 x1＋x2x0< 2峰口向下：f(x1)> 极值点偏移 f(2x0－x2) 峰口向上：f(x1)> f(2x0－x2) 右移 x1＋x2x0> 2峰口向下：f(x1)< f(2x0－x2) 2.函数极值点偏移问题的题型及解法 极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式： (1)若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (2)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0 为函数f(x)的极值点)； (3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝ x1＋x2 2 ，求证：f′(x0)>0； (4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝证：f′(x0)>0. x1＋x2 2 ，求[典例] 已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1， x2(x1≠x2)．证明：x1x2>e2. [解题观摩] 法一：(抓极值点构造函数) 由题意，函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0，易知ln x1，ln x2 是方程x＝ae的两根． 设t1＝ln x1，t2＝ln x2，g(x)＝xe，则g(t1)＝g(t2)， 从而x1x2>e?ln x1＋ln x2>2?t1＋t2>2. 2 －xx下证：t1＋t2>2. g′(x)＝(1－x)e－x，易得g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1 所以函数g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝. e 当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0且g(x)>0. 由g(t1)＝g(t2)，t1≠t2，不妨设t1 令F(x)＝g(1＋x)－g(1－x)，x∈(0,1]， 则F′(x)＝g′(1＋x)－g′(1－x)＝x＋1(e－1)>0， e所以F(x)在(0,1]上单调递增， 所以F(x)>F(0)＝0对任意的x∈(0,1]恒成立， 即g(1＋x)>g(1－x)对任意的x∈(0,1]恒成立． 由0 所以g(1＋(1－t1))＝g(2－t1)>g(1－(1－t1))＝g(t1)＝g(t2)，即g(2－t1)>g(t2)， 又2－t1，t2∈(1，＋∞)，且g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 所以2－t1 [点评] 上述解题过程就是解决极值点偏移问题的最基本的方法，共有四个解题要点： (1)求函数g(x)的极值点x0； (2)构造函数F(x)＝g(x0＋x)－g(x0－x)； (3)确定函数F(x)的单调性； (4)结合F(0)＝0，确定g(x0＋x)与g(x0－x)的大小关系． [口诀记忆] 极值偏离对称轴，构造函数觅行踪， 四个步骤环相扣，两次单调紧跟随． 法二：(巧抓“根差”——s＝Δt＝t2－t1构造函数) 由题意，函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0， 易知ln x1，ln x2是方程x＝ae的两根． 设t1＝ln x1，t2＝ln x2， 设g(x)＝xe，则g(t1)＝g(t2)，从而x1x2>e?ln x1＋ln x2>2?t1＋t2>2. －x2 2 x2xx下证：t1＋t2>2. 由g(t1)＝g(t2)，得t1e－t1＝t2e－t2，化简得et2－t1＝，① 不妨设t2>t1，由法一知，0 t2 t1
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