第2课时 函数的定义域与值域
题型一 函数的定义域
命题点1 求函数的定义域
例1 (1)(2018·江苏)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________． 答案 {x|x≥2}
解析 由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2， 满足x>0，
所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}．
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(2)函数f(x)＝lnx－3x＋2＋－x－3x＋4的定义域为________________．
x答案 [－4,0)∪(0,1)
x≠0，??2
解析 由?x－3x＋2>0，
??－x2－3x＋4≥0，
解得－4≤x<0或0 故函数f(x)的定义域为[－4,0)∪(0,1)． (3)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数g(x)＝答案 [－1,1)∪(1,2 019] 解析 使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2020，解得－1≤x≤2019，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 019]． ??－1≤x≤2019， 所以函数g(x)有意义的条件是? ?x－1≠0，? f?x＋1? 的定义域是________． x－1 解得－1≤x<1或1 故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 019]． 引申探究 本例(3)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2 020]”，则函数g(x)＝答案 [－2,1)∪(1,2 018] 解析 由函数f(x－1)的定义域为[0,2 020]， 得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 019]， 1 f?x＋1? 的定义域为________． x－1 ??－1≤x＋1≤2019，令? ?x≠1，? 则－2≤x≤2018且x≠1. 所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]． 命题点2 已知定义域求参数范围 例2 (1)若函数f(x)＝ax＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________． 9答案 － 2 解析 函数f(x)的定义域是不等式ax＋abx＋b≥0的解集．不等式ax＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}， 2 2 2a<0，??1＋2＝－b，所以? b1×2＝，??a 3??a＝－， 2解得???b＝－3， 39 所以a＋b＝－－3＝－. 22 (2)设f(x)的定义域为[0,1]，要使函数f(x－a)＋f(x＋a)有定义，则a的取值范围为____________． ?11?答案 ?－，? ?22? 解析 函数f(x－a)＋f(x＋a)的定义域为[a,1＋a]∩[－a,1－a]，当a≥0时，应有a≤1－a，11?11?即0≤a≤；当a<0时，应有－a≤1＋a，即－≤a<0.所以a的取值范围是?－，?. 22?22?思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a (3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． ?1?2 跟踪训练1(1)函数y＝ln?1＋?＋1－x的定义域为________． ? x? 答案 (0,1] 2 x≠0，??1 解析 函数的定义域满足?1＋>0， x??1－x≥0， 2 x≠0，?? 解得?x>0或x<－1， ??－1≤x≤1， ∴0 (2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝答案 [0,1) f?2x? 的定义域是________． x－1 ??0≤2x≤2， 解析 函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，要使函数g(x)有意义，可得? ??x－1≠0， 解得 0≤x<1. (3)记函数f(x)＝ 2－ x＋3 的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为x＋1 B.若B?A，则实数a的取值范围为________________． ?1?答案 (－∞，－2]∪?，1? ?2? 解析 由已知得A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|(x－a－1)(x－2a)<0}，由a<1得a＋1>2a，1 ∴B＝{x|2a 21 ∴a的取值范围为a≤－2或≤a<1. 2 题型二 函数的值域 3 例3求下列函数的值域： (1)y＝3x2 －x＋2，x∈[1,3]； (2)y＝3x＋1x－2； (3)y＝x＋41－x； (4)y＝2x2 －x＋1?2x－1??x>12??? . 解 (1)(配方法) 因为y＝3x2 －x＋2＝3???x－16??223?＋12 ， 所以函数y＝3x2 －x＋2在[1,3]上单调递增． 当x＝1时，原函数取得最小值4； 当x＝3时，原函数取得最大值26. 所以函数y＝3x2－x＋2(x∈[1,3])的值域为[4,26]． (2)(分离常数法) y＝ 3x＋13?x－2?＋7x－2＝x－2＝3＋7 x－2， 因为7x－2≠0，所以3＋7 x－2 ≠3， 所以函数y＝3x＋1x－2的值域为{y|y≠3}． (3)(换元法) 设t＝1－x，t≥0，则x＝1－t2 ， 所以原函数可化为y＝1－t2 ＋4t＝－(t－2)2 ＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (4)(基本不等式法) 2 y＝2x－x＋12x－1＝x?2x－1?＋12x－1 1＝x＋112 2x－1＝x－2 ＋ x－1＋1 2， 2因为x>12，所以x－1 2 >0， 1 1所以x－1 2 ??12 2 ＋ x－ 1≥2?x－2???·2 ?＝2， ??x－12? ?? 4
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