专题21 导数的综合运用
【母题原题1】【2018新课标1，文21】 已知函数（1）设
是
．
的极值点．求，并求时，
．
的单调区间；
（2）证明：当
当0
时，
．
点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果. 【母题原题2】【2017新课标1，文21】 已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
综上,a的取值范围是[-2,1]. 【母题原题3】【2016新课标1，文21】 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
在(ln(-2a),1)单调递减.
③若a<- ,则ln(-2a)>1,
故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增, 在(1,ln(-2a))单调递减.
(Ⅱ)(ⅰ)设a>0 ,则由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b 则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a所以f(x)有两个零点. >0, (ⅱ)设a=0 ,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点. (ⅲ)设a<0 ,若a≥- ,则由(Ⅰ)知,f(x)在(1,+∞)单调递增. 又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点; 【命题意图】考查导数的概念、导数公式求导法则导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力． 【命题规律】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 【答题模板】求解应用导数研究函数的性质问题的一般思路： 第一步：牢记求导法则，正确求导.在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域． 第二步：研究（1）（2）问的关系，注意利用第(1)问的结果.在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决． 第三步：根据条件，寻找或构造目标函数，注意分类讨论.高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论． 第四步：选择恰当的方法求解，注意写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚． 【方法总结】 1.导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求f'(x)； (2)确认f'(x)在(a,b)内的符号； (3)作出结论：f'(x)?0时为增函数；f'(x)?0时为减函数．
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