2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（ ） A．[0，1] B．（0，1） C．（0，1] D．[0，1） 2．设i是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A．y=x+1
B．y=﹣x3
C．
D．y=x|x|
的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是
4．如图给出的是计算（ ）
A．i＞5 B．i＜5 C．i＞6 D．i＜6
5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）
A．8 B． C．10 D．
6．在数列{an}中，“|an+1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数
将y=f（x）的图象向右平移
的部分图象如图所示，则
个单位后，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y=sin2x B． C． D．y=cos2x
8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（ ） A．4 B．6 C．32 D．128
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线
=1的焦距是_______，渐近线方程是_______．
10．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值_______．
，则点O到AC
11．如图，AB是半圆O直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=4的距离OD=_______．
12．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（s为参数），曲线C的参
数方程为 （t为参数），若直线l与曲线C相交于A，B两点，则|AB|=_______．
13．已知函数f（x）=
则实数a的取值范围是_______．
，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，
14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分． 第1 题 第2题 第3 题 第4 题 第5 题 第6 题 第7题 第8 题 得分 √ √ √ 5 甲 × × × × × √ √ √ 5 乙 × × × × × √ √ √ 6 丙 √ × × × × √ 丁 √ × × × × × × ？ 丁得了_______分．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a?cosB． （1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．
16．我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示： 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 35 25 a 10 b 频数 已知分3期付款的频率为0.15，请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；
（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．
17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．
18．已知函数f（x）=sinx﹣xcosx． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）求证：当
（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对
时，
；
恒成立，求实数k的最大值．
19．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线l：y=kx+m与椭
圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．
20．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{an}的前n项和Sn=am，则称{an}是“回归数列”．
（Ⅰ）①前n项和为
的数列{an}是否是“回归数列”？并请说明理由；
②通项公式为bn=2n的数列{bn}是否是“回归数列”？并请说明理由；
（Ⅱ）设{an}是等差数列，首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“回归数列”，求d的值； （Ⅲ）是否对任意的等差数列{an}，总存在两个“回归数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立，请给出你的结论，并说明理由．
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