2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛 - 图文

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

A题 车灯线光源的优化设计 参考答案

注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

一. 假设和简化 (略)

二. 模型的建立

建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W，B,C点的光强度分别为hB(l)W和

hC(l)W，先求hB(l)和hC(l)的表达式，再建立整个问题的数学模型.

x2?y2以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为z?，焦点坐标为

60（0,0,15）。

1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量

??x2?y2).记入射向量为a,该点反射面外法线方向为b,不难得设反射点的坐标为Q(x,y,60?到反射向量c满足

???z ??2a?b c?a??2b. C A B b记r?x?y,由

2?a?(x,y?w,r?15),60 ?b?(x/30,y/30,?1)?从而得c?(cx,cy,cz)的表达式

2xywcx?2r?900w(2y2?r2?900) cy? 2r?900r4?1800r2?3600wy?810000cz?60(r2?900)222c P a 0 Q y x b 注意到反射光通过C点,应有

kcx??x, kcy?2600?y,

kcz?25015?r2/60r2?900其中k为常数. 从上述第一式可解得x?0或k??.由此得反射点坐标满足以下两

2wy组方程:

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x?0?432?y5?(w?2600)y?1800y?(1498200w?4680000)y?(9360000w?810000)y??w?2106000000?0.??1350810000

3750w?y??13(w?2600)??x??5200y?900?y2?22CC 通过计算可知,存在w0时第一组方程不存在满足r?36的实根,??1.56,当w?w0C即无反射点. 而当w?w0时,有两个反射点Qi(0,yi,yi2/60),i?1,2.

22 而第二组方程仅当?3.8119?w??1.5609时存在满足r?36的一对实根,即有两

x2?y2),记为Q3,Q4. 个反射点(?x,y,60 若反射点的坐标为Q(x,y,z),则位于点P(0,w,15)的单位能量点光源经Q点反射到C

点的能量密度(单位面积的能量, 正比于光强度)为 L?其中

cos?4?PQ2

PQ?x2?(y?w)2?(r2/60?15)2

而?为反射向量与z轴的夹角,

25015?r2/60 cos??.

QC

2)hB(l),hC(l)的表达式

长l的具有单位能量的线光源位于点P(0,w,15)的长dw的微小线光源段反射到C点的能量密度为 E(w)?其中

?f(w)/l,

ii?14

?cos?iC,w?[?l/2,w00]?2fi(w)??4?PQi,i?1,2C?0,w?[?30,w0]??cos?i,w?[?3.8119,?1.5609]?fi(w)??4?PQ2,i?3,4i?0,w?[?3.8119,?1.5609]?l/2

长l的具有单位能量的线光源反射到C点的能量密度为 hC(l)??l/2?E(w)dw.

类似可得hB(l)的表达式.相应的反射点方程为

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x?0?432?y5?(w?1300)y?1800y?(1498200w?2340000)y?(4680000w?810000)y??w?1053000000?0.??1350810000

7500w?y??13(w?1300)??x??2600y?900?y2?

B]. 相应的w0??0.78,而第二组方程的有两个反射点的范围为w?[?1.906,?0.7800005

3） 优化设计的数学模型

设线光源的功率为W, 则它反射到B点和C点的能量密度分别为hB(l)?W和hC(l)?W.问题的数学模型为:

?minW?0?l?l0 ?s.t.??hB(l)W?2 hC(l)W?1

三. 模型的求解

hB(l),hC(l)可以用数值积分求得. hB(l)应具备下列性质：

B?0,0?l?lB?2w0?' hB(l)???,lB?l?lB'??,lB?l?l0?'其中lB为起亮值，lB为最大值点，l0为考察的最大范围，例如取为20mm。hC(l)也有类似的

性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解hB(l)?2hC(l),记其解为l?l*,再求出

'''''',不难看出lB且l*落在(lB,lC)之中。 lB,lC?lC 令w*?1/hC(l*)?2/hB(l*)现证w*为问题之最优值。事实上，对可行域中任一(l,w)，

当l?l*,有w?2H/hB(l)?2H/hB(l*)?w*,（用到l?l*时hB?）。

当l?l*，有w?H/hC(l)?H/hC(l*)?w*，（用到l?l*时hc?）。 这就证明了w*的确是最小值。

事实上数值结果为lB?3.16,lC?6.22,l*?3.62.

四. 反射光亮区的计算

分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x轴对称的.

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五. 注记

(1) 计算hB(l), (hC(l))的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决.具体的做法是: 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后, 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏B(或C)点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的面积即为B(或C)点的反射能量密度.

但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度(必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏B(或C)点附近小面元的取法等).

(2) 以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。

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