命题点2 含参数的平面区域问题 x－y≥0，??2x＋y≤2，
例2 若不等式组?y≥0，
??x＋y≤a4
A.a≥
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C.1≤a≤
3答案 D
表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
B.0 3 ?x－y≥0， 解析 作出不等式组?2x＋y≤2， ?y≥0 包含l1)或l3上方(包含l3). 表示的平面区域(如图中阴影部分所示).由图知，要使原 不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不 思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型： (1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论. x＋y－2≥0，?? 跟踪训练1 (1)不等式组?x≤4， ??y≤5 表示的平面区域的形状为( ) A.等边三角形 C.等腰直角三角形 答案 C B.梯形 D.正方形 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界). ??y≥0， (2)已知由不等式组?y－kx≤2， ??y－x－4≤0 A.－3 B.－1 C.3 D.1 答案 B x≤0， 确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为( ) x≤0，?? 解析 作出不等式组?y≥0， ??y－x－4≤0 所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示， 可知该区域是等腰直角三角形且面积为8. 由于直线y＝kx＋2恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2， 当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6， ??y－kx＝2， 由于6<7，由此可得k<0.由? ??y－x－4＝0，?24k－2? ，可得D??， k－1k－1?? 1?2?依题意应有×2×?k－1?＝1， 2??解得k＝－1或k＝3(舍去)，故选B. 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值 x＋2y－5≥0，?? 例3 (2018·全国Ⅱ)若x，y满足约束条件?x－2y＋3≥0， ??x－5≤0，答案 9 解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界).目标函数x＋y取得最大值?斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大， 则z＝x＋y的最大值为________. 由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值. ??x＝5，由?得点C(5,4)， ??x－2y＋3＝0， ∴zmax＝5＋4＝9. 命题点2 求非线性目标函数的最值 x－y＋1≤0，?? 例4 已知实数x，y满足?x＋2y－8≤0， ??x≥1，27? 答案 ??3，6? y 则z＝的取值范围是________. x＋2 解析 ?x－y＋1≤0， 作出不等式组?x＋2y－8≤0， ?x≥1 表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三 7y1，?，D(2,3)，角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2)，C?的几?2?x＋2何意义是可行域内任一点(x，y)与点(－2,0)连线的斜率，记P(－2,0)，连接PB，PC，由于直27?27y ，. 线PB的斜率为，直线PC的斜率为，由图可知z＝的取值范围是?36??36x＋2
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