第12讲 椭圆
1.已知正方形ABCD的四个顶点在椭圆 + =1(a>b>0)上,AB∥x轴,AD过左焦点F,则该椭圆的离心率
为 .
2.已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,直线y=- x与椭圆C交于A,B两点,且AF⊥BF,则椭圆C的离 心率为 .
3.已知点P是椭圆 + =1上的动点,F1为椭圆的左焦点,定点M(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 .
4.已知椭圆 + =1(a>b>0),点A,B1,B2,F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F
的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为 .
5.椭圆C: + =1 的一条准线与x轴的交点为P,点A为其短轴的一个端点.若PA的中点在椭圆C 上,则椭圆的离心率为 .
6.(2018盐城中学高三上学期期末)已知椭圆C1: + =1 与圆C2:x+y=b,若椭圆C1上存在点P,由
2
2
2
点P向圆C2所作的两条切线PA,PB且∠APB= °,则椭圆C1的离心率的取值范围是 . 7.(2018盐城射阳二中教学质量调研(三))如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆 + =1(a>b>0) 的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长,交椭圆于点P,直线PF2,PF1的斜率之积为1,则椭圆的离心率e为 .
8.(2018扬州中学高三下学期开学考)在平面直角坐标系xOy中,已知点A在椭圆+=1上,点P满足
=( λ-1) ( λ∈R),且 · =48, 则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 .
9.(2018淮海中学高三数学3月模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为
,两条准线之间的距离为
4 . (1)求椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的左顶点为A,点M在圆x+y=上,直线AM与椭圆相交于另一点B,且△AOB的面积是△AOM
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面积的2倍,求直线AB的方程.
10.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过F2作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,且△AF1F2的周长是4+2 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)当|AB|= |DE|时,求△ODE的面积.
答案精解精析
1.答案
-
解析 不妨设点A在第二象限.由题意,可得A - , 在直线y=-x上,所以 =c,即b=a-c=ac,e+e-1=0,(0 2 2 2 - . 3.答案 15 解析 设椭圆+=1的右焦点为F2,则F2(3,0),|MF2|=5.所以 |PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|≤ a+|MF2|=10+5=15,当且仅当点M在MF2的延长线与椭圆的交点处时取等号.故|PM|+|PF1|的最大值为15. 4.答案 解析 由题意可得,直线AB2:+=1,B1F:+=1.两式相加,得-=2?x==,化简得2c+ac-a=0,即2e+e-1=0, - - - 222 又椭圆的离心率0 解析 不妨设P , ,A , .因为PA的中点 , 在椭圆C: + =1(a>b>0)上,所以 +=1.化简得a= c. 所以离心率e==. 6.答案 , 解析 由椭圆C1: + =1(a>b>0)的焦点在x轴上, 连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆, ∵∠APB= °,∠APO=∠BPO= °, 在Rt△OAP中,∠AOP= °, ∴cos∠AOP=| =. | ∴|OP|= =2b. ∴b<|OP|≤a, ∴ b≤a. ∴ b≤a, 由a=b+c,即4(a-c)≤a, 得3a≤ c,即 ≥.∴e≥ . 又 ∴椭圆C1的离心率的取值范围是≤e< . 7.答案 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解析 直线PB的方程为 - y=-x+b,将其代入椭圆方程,解得 P c , ,则 - - - 422444222222222 =, =-, =·=1,b=3ac+c,b-c=a(b-c)=3ac,b=4c,a=5c,a= c.故则离心率 c c e==. 8.答案 10 解析 由 =( λ-1) ( λ∈R),得 = λ , 则O,P,A三点共线,则 · =| |·| |=48. 设OP与x轴的夹角为θ,A(x,y),B为A在x轴上的投影,则线段OP在x轴上的投影长度为| |cos θ= | | | || | = = × |x| | | ≤ × |x|· | | =10,当且仅当 |x|=| ,即|x|= 时,取等号.故投影长度的最大值为10. |9.解析 (1)设椭圆的焦距为2c.由题意,得=,=4 .解得a=2,c= . 所以b= . 所以椭圆的方程为 + =1. (2)因为S△AOB=2S△AOM,所以|AB|=2|AM|,所以点M为AB的中点. 设直线AB的方程为y=k(x+2). ,由 ), 得(1+2k)x+8kx+8k-4=0. 所以(x+2)[(1+2k)x+4k-2]=0.解得xB= . 所以xM= 2 2 2 2 2 2 2 - - )- =,y. M=k(xM+2)= 2 代入x+y= ,得 + = . - 化简得28k+k-2=0, 即(7k+2)(4k-1)=0.解得k=±. 2 2 42 所以直线AB的方程为y=± (x+2), 即x+2y+2=0,x-2y+2=0. 10.解析 (1)由e= ,知=.所以c= a. 因为△PF1F2的周长是4+2 , 所以2a+2c=4+2 . 所以a=2,c= ,故b=a-c=1. 所以椭圆C的方程为+y=1. 2 2 2 2 (2)分析知直线l2的斜率存在,且不为0,设l1的方程为x=my+ .与椭圆方程联立,得 , 消去x并整理,得 y+ 2 , y-=0. 所以|AB|= |y1-y2|= ·同理|DE|=所以 ) ) = . = . 2 ) = × ) .解得m=2. 所以|DE|= , 直线l2的方程为y=± (x- ). 所以点O到直线l2的距离d= . 故S△ODE= × × = .
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