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专项强化练(九) 数 列
A组——题型分类练
题型一 等差、等比数列的基本运算
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＝7，S7＝－7，则a7的值为________． 解析：因为等差数列{an}满足a2＝7，S7＝－7，所以S7＝7a4＝－7，a4＝－1，所以d＝＝－4，所以a7＝a2＋5d＝－13.
答案：－13
2．(2021·盐城高三模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an＋n(n∈N)，则数列{an}的通项公式为an＝________.
解析：Sn＝2an＋n(n∈N) ①，当n＝1时，得a1＝－1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1 ②，①－②，得an＝2an－2an－1＋1(n≥2)，即an－1＝2(an－1－1)(n≥2)，则数列{an－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，则an－1＝－2×2数列{an}的通项公式为an＝1－2.
答案：1－2
52
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a4＝a2，a2＋a4＝，则a5＝________.
16解析：法一：设等比数列{an}的首项为a1(a1>0)，公比为q(q>0)，
3
?a1q＝a1q2*
*
a4－a2
4－2
n－1
＝－2，a1＝－1符合上式．所以
nnn?由题意?53
a，1q＋a1q＝?16?
14
所以a5＝a1q＝.
32
，
1a＝，??2解得?1
q＝??2，
1
a4＝a2，??
法二：(整体思想)依题意由?5
a，2＋a4＝?16?
2
得16a2＋16a2－5＝0，即(4a2＋5)(4a2－
2
11a412
1)＝0，又等比数列{an}各项均为正数，所以a2＝，从而a4＝，从而由q＝＝，又q>0，
416a241111
所以q＝，a5＝a4q＝×＝.
216232
1答案： 32[临门一脚]
1．等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
1
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2．在等差、等比混合后考查基本量的计算容易造成公式和性质混淆，从而造成计算失误．
3．等差、等比数列的通项公式：
等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1
＝amqn－m(a1≠0，q≠0)．
4．等差、等比数列的前n项和： (1)等差数列的前n项和为：Sn＝数)．
特别地，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设Sn＝an＋bn(a，b为常数)．
(2)等比数列的前n项和为：
2
na1＋an2
＝na1＋
nn－1
2
d?d?d＝n2＋?a1－?n(二次函
2
?2?
na1，q＝1，??
Sn＝?a11－qna1－anq＝，q≠1，?1－q?1－q特别地，若q≠1，设a＝
a1
1－q，则Sn＝a－aq，要注意对q是否等于1讨论．
n题型二 等差、等比数列的性质
1．(2021·东台中学模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＋a12＝2 019，则S13＝________.
解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a6＋a12＝2 019，所以(a1＋2d)＋(a1
13
＋5d)＋(a1＋11d)＝2 019，即a1＋6d＝673，所以S13＝＝13(a1＋6d)＝8 749.
法二：因为a3＋a6＋a12＝2 019，所以3a7＝2 019，所以a7＝673，所以S13＝＝13a7＝8 749.
答案：8 749
2．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝________.
解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝7
答案： 3
3．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20
2
5
a1＋a13
2
13[a1＋＝
a1＋12d]
2
13a1＋a13
2
S4S2S6S4
S67k7
＝. S43k3
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＝________.
解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e，所以a10a11＝e.所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20
＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)＝10ln(a10a11)＝10ln e＝50ln e＝50.
答案：50
4．已知数列{an}是等差数列，且an>0，若a1＋a2＋…＋a100＝500，则a50·a51的最大值为________．
解析：法一：设等差数列{an}的公差为d(d≥0)，由题意得，100a1＋4 950d＝500，所以a1＝5－49.5d，所以a50·a51＝(a1＋49d)·(a1＋50d)＝(5－0.5d)·(5＋0.5d)＝－0.25d＋25.又d≥0，所以当d＝0时，a50·a51有最大值25.
法二：由等差数列的性质知，50(a50＋a51)＝500，即a50＋a51＝10，所以由基本不等式得
2
10
5
5
5
a50·a51≤?
?a50＋a51?2＝25，当且仅当a＝a＝5时取等号，所以a·a有最大值25.
?50515051
?2?
答案：25
An7n＋45an5．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，若＝，则使得为
Bnn＋3bn整数的正整数n的个数是________．
na1＋a2n－1
解析：由＝
2annanA2n－172n－1＋457n＋197n＋1＋12
＝＝＝＝＝＝7
bnnbnnb1＋b2n－1B2n－12n－1＋3n＋1n＋1
2
＋
12an**
.因此n∈N，∈N，故n＋1＝2,3,4,6,12，即n共有5个． n＋1bn答案：5 [临门一脚]
1．若序号m＋n＝p＋q，在等差数列中，则有am＋an＝ap＋aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；在等比数列中，则有am·an＝ap·aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am·an＝ap；该性质还可以运用于更多项之间的关系．
2．在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，其公差为kd；其中Sn为前n项的和，且Sn≠0(n∈N)；在等比数列{an}中，当q≠－1或k不为偶数时Sk，S2k－Sk，
*
2
S3k－S2k，…成等比数列，其中Sn为前n项的和(n∈N*)．
题型三 数列的综合问题
311．已知等比数列{an}的前4项和为5，且4a1，a2，a2成等差数列，若bn＝，
2log23an＋1
则数列{bnbn＋1}的前10项和为________．
3
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