文献综述几个一阶微分方程解法之间的关系

新疆农业大学

专业文献综述

题 目:

几个一阶微分方程解法之间的关系

姓 名: 盛园甲

学 院: 专 业: 班 级: 学 号: 指导教师:

数理学院

数学与应用数学 052班 054131215 刘书新 职称: 讲师 2008 年 12 月29 日

新疆农业大学教务处制

几个一阶微分方程解法之间的关系

作者：盛园甲 指导教师：刘书新

摘要：本文主要介绍了可分离变量方程，一阶线性方程，恰当方程的解法，和它们解法之间的关系。

关键词：可分离变量方程，恰当方程，积分因子法。

引言：

随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性,因此研究常微分方程的解题方法也变得十分必要。一般的一阶方程是没有初等解法的，本文就在与介绍若干有初等解法的方程类型和求解的方法，及它们解法之间的关系， 在文献[1]中给出了三种常见的常微分方程及其解法： 一：可分离变量方程 形如

(1.1)

的方程，称为可分离变量方程，这里现在说明方程(1.1)的求解方法。 如果（y）0,我们可将(1.1)写成

，

分别是x,y的连续函数。

这样，变量就“分离”开来了，两边分别积分，得到

(1.2)

这里我们把积分常数c明确写出来，而把

，

分别理解为

，f(x)

的某一个原函数，如无特别声明，以后也做这样的理解。

把(1.2)作为确定y是x的隐函数的关系式，于是，对于任一常数c，微分(1.2)的两边，就知(1.2)所确定的隐函数y=y(x,c)满足方程(1.1)，因而(1.2)是(1.1)的通解。 如果存在

，直接带入，可知y=

也是(1.1)的解。

二：一阶线性方程

一阶线性微分方程可以写成

（2.1）

这里若

，

是x的连续函数。

，则（2.1）变为

（2.2）

（2.2）称为一阶线性齐次方程； 若

，则称（2.1）为一阶非齐次方程。

（2.2）是变量分离方程，可用求变量分离方程解的方法求的通解为

(2.3)

这里c是任意常数。

现在讨论非齐次线性方程（2.1）的通解的求法。不难看出，（2.2）是（2.1）的特殊形式，两者既有联系又有区别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有区别。我们试图利用方程（2.2）的通解（2.3）的形式去求方程（2.1）通解，显然（2.3）中c恒保持为常数，它必不可能是（2.1）的解，我们设想：（2.3）中，将常数c变易为待定函数， 使它满足方程（2.1），从而求得。 为此，令

(2.4)

微分得

(2.5)

将(2.4)，(2.5)代入(2.1)，得到 从而

积分后即可求得

(2.7)

(2.6)

这里是任意常数，将(2.7)代入(2.4)，得到

(2.8)

这就是（2.1）的通解。 三：恰当方程 我们可以将一阶方程 写成微分形式

或把x，y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程

(3.1)

这里，都是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。这样的形式有时便于探求方程的通解。

如果方程(3.1)的 左端恰好是某个二元函数

则称(3.1)为恰当方程。 容易验证，(3.1)的通解就是 或 这里是任意常数。

四：可分离变量方程，一阶线性方程，恰当方程解法之间的关系

恰当方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就有很大的意义，积分因子就是为了解决这个问题而引入的概念。 如果存在函数

为一恰当方程，即存在函数v，使

(3.3)

则称这时

为方程(3.1)的积分因子。

是(3.3)的通解，因而也就是(3.1)的通解。

，使得

的全微分，即

(3.2)

文献[2]中给出了，对于可分离变量方程，一阶线性方程都可以写成具有对称形式的一阶微分方程 如果存在

，使

(4.2)

(4.1)

成为全微分方程，则称为方程(4.1)的积分因子。

因此，对于可分离变量方程，一阶线性方程的求解，就可归结到寻求积分因子。 容易看出

是方程(4.1)的积分因子的充要条件是

即

企图从上式找出u是很困难的。

文献[12]给出了可分离变量变量分离方程，一阶线性方程的积分因子。 1：可分离变量方程的积分因子： 可分离变量方程的一般形式为

，两边同时乘以

的通解为

。

2：一阶线性方程的积分因子： 一阶线性方程的的一般形式为

，写成微分形式得 得

，写成微分形式得

，此时易得方程

（c为任意常数）。由此可知方程有积分因子

(4.3)

其中M=

,N=

，算得

，以

乘(4.3)得

因而一阶线性方程有只与x有关的积分因子